Sia F: x → √((2−x)/x). Schizzane il grafico tra 0 e 2 e individua il punto di flesso che esso ha.  Sia r la retta che congiunge l'origine con tale punto di flesso. Calcola il volume del solido ottenuto ruotando attorno all'asse x, tra le ascisse 0 e 2, la superficie delimitata dall'asse x, da r tra l'origine e il punto di flesso e dal grafico di F tra il punto di flesso e il punto di ascissa 2.  La figura a lato ti può aiutare, anche per controllare l'ordine di grandezza del risultato.

F'(x) = −1/(x·√(2x−x²));  F"(x) = (3−2x)/(x·(2x−x2)3/2). Dunque F decresce e ha un flesso in 3/2. Il punto di ascissa 3/2 ha ordinata F(3/2) = √3/3. Chiamo P tale punto ed H la sua proiezione sull'asse x. PH è lungo √3/3, OH è lungo 1.5. Il solido di cui cerchiamo il volume è l'unione di un cono e di una calotta (non sferica). Il volume del cono è 1/3·3/2·π/2 = π/6 = 0.5235988. Per la calotta uso il procedimento descritto in Altri usi degli integrali: ∫ [3/2, 2] π(2−x)/x dx = π(2 ∫ [3/2, 2] dx/x − ∫ [3/2, 2] dx) = π(log(16/9)−1/2) = 0.2367634. Il volume complessivo è dunque π(log(16/9)−1/3) = 0.7603622 (arrotondando). Il valori ottenuti, confrontati col disegno, sono sensati. I calcoli sono controllabili con un semplice script online: vedi.

# Grafici e calcoli sono facilmente controllabili con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3; PLANE(0,2, -1,1)
f = function(x) sqrt((2-x)/x); graph( f, 0,2, "brown")
f1 = function(x) -f(x); graph1( f1, 0,2, "brown")
d2f = function(x) eval( deriv2(f,"x") )
solution(d2f,0, 1,1.9)
# 1.5
g = function(x) f(1.5)/1.5*x; graph(g, 0,1.5, "black")
g1 = function(x) -g(x); graph1(g1, 0,1.5, "black")
# ovvero:
h = function(x) ifelse(x<1.5, g(x), f(x))
h1 = function(x) ifelse(x<1.5, g1(x), f1(x))
for(i in 1:5) Diseq(h1,h, 0,2, "pink")
graph(h, 0,2, "black"); graph(h1, 0,2, "black")
                 
POINT(1.5, f(1.5), "red")
# Il volume del solido di rotazione:
A = function(x) pi*h(x)^2            # l'area dei dischi
V = integral(A, 0,2); V; more(V)     # il volume
#  0.7603622  0.760362219571405

Posso calcolare l'integrale con lo script online "integr." recuperabile qui, avendo preso come F(x) il cerchio che ha centro sull'ascissa x, che è perpendicolare all'asse x, e che al variare di x descrive il solido:

function F(x) {
with(Math) {
if(x > 1.5) {u = sqrt((2-x)/x)} else {u = sqrt((2-1.5)/1.5)/1.5*x}
return  PI*pow(u,2)
}}

Ottengo:

0.7603622195714261  if a=0 b=2 n=128e5 [-1.3988810110276972e-14]
0.7603622195714401  if a=0 b=2 n=64e5  [7.593925488436071e-14]
0.7603622195713642  if a=0 b=2 n=32e5  [1.1224354778960333e-13]
0.7603622195712519  if a=0 b=2 n=16e5  [5.632161403923419e-13]
0.7603622195706887  if a=0 b=2 n=8e5   [2.0013990464917697e-12]
0.7603622195686873  if a=0 b=2 n=4e5   [8.204437129677444e-12]
0.7603622195604829  if a=0 b=2 n=2e5   [3.269029491548281e-11]
0.7603622195277926  if a=0 b=2 n=1e5   [0.7603622195277926]

Nelle ultime uscite le variazioni rispetto alle precedenti cambiano andamento. Approssimo l'integrale con 0.7603622195714.