Valuta, nel modo che ritieni più opportuno, esattamente o in modo approssimato, l'area della superficie evidenziata in rosso a fianco, dove la curva inferiore ha equazione y = x² e quella superiore ha equazione x⁴+y⁴ = 1.

Posso immediatamente valutare in 0.5 (l'area del triangolo evidenziato a fianco) una approssimazione per difetto abbastanza buona dell'area cercata. Per determinare il valore dell'area con più precisione devo valutare l'integrale ∫_{[0, k]} F dove k è l'ascissa del punto di intersezione delle due curve e F è la funzione differenza tra le due funzioni che hanno come grafici le curve considerate, ossia f: x → (1−x^4)^(1/4) e g: x → x^2.
k è facile da determinare: y = x² e x⁴+y⁴ = 1 si intersecano quando y^2+y^4 = 1, ossia, posto t = y^2, quando t+t^2 = 1, ossia t^2+t−1=0; la soluzione positiva è t = (√5−1)/2, ossia y = ((√5−1)/2)^(1/2), ossia x = ((√5−1)/2)^(1/4) = ⁴√((√5−1)/2)
Ma non è facile da calcolare ∫f(x)−g(x) dx = ∫⁴√(1−x⁴)−x² dx (si può dimostrare che non è una funzione "elementare" - vedi).
A questo punto posso fare tutto (facilmente) con un opportuno programma, ad esempio con R (vedi) o, più semplicemente, con degli script online: vedi.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
f = function(x) (1-x^4)^(1/4); g = function(x) x^2
PLANE(0,1.1, 0,1.1)
graph(f, 0,1, "brown"); graph(g, 1,0, "seagreen")
graph(f, 0.999,1, "brown")   # per tracciare meglio la parte destra
x1 = solution2(g,f, 0.5,1); x1
# 0.8866518
Diseq(g,f, 0,x1, "red")
graph(f, 0,1, "brown"); graph(g, 1,0, "seagreen")
     
k = function(x) f(x)-g(x)
A = integral(k, 0,x1); A; more(A)
#  0.6220228  0.622022798139069

Potevo operare anche col programma descritto qui:

Ovvero potevo ricorrere a WolframAlpha:
solve (1-x^4)^(1/4)-x^2 = 0 for x ottengo: x = (1/2*(sqrt(5)-1))^(1/4)
integrate (1-x^4)^(1/4)-x^2 for x=0 to (1/2*(sqrt(5)-1))^(1/4) ottengo: 0.622022798139068648390693...

Ecco come si poteva precedere facilmente con degli script online recuperabili qui. Utilizzo "equation" per trovare l'intersezione tra le due curve (dove si azzera la differenza tra le due funzioni di cui sono grafico):

function F(x) {
with(Math) {
return  pow(1-pow(x,4),1/4) - pow(x,2)
}}

a=0.8866517793121622 b=0.8866517793121623
 . . .
a=0.875 b=1
a=0.75 b=1
a=0.5 b=1
a=0 b=1

Assumendo che le due curve si intersechino per x = 0.88665177931216225, utilizzo "integr." per calcolare l'area avendo preso "F(x)" come sopra:

0.6220227981391144  if a=0 b=0.88665177931216225 n=32e5 [6.217248937900877e-15]
0.6220227981391082  if a=0 b=0.88665177931216225 n=16e5 [-1.6109336087311021e-13]
0.6220227981392693  if a=0 b=0.88665177931216225 n=8e5  [-4.75397499144492e-13]
0.6220227981397447  if a=0 b=0.88665177931216225 n=4e5  [-1.953437411827963e-12]
0.6220227981416981  if a=0 b=0.88665177931216225 n=2e5  [-7.878808716554886e-12]
0.622022798149577   if a=0 b=0.88665177931216225 n=1e5  [0.622022798149577]

Nelle ultime uscite le variazioni rispetto alle precedenti cambiano andamento. Approssimo l'integrale con 0.6220227981391.