Determina il volume del solido raffigurato a lato, dotato di un asse di simmetria, con una faccia circolare, con altezza rispetto a questa faccia pari al raggio di essa e con il resto della superficie a profilo parabolico (nel senso che i semipiani aventi come bordo l'asse di simmetria intercettano su tale superficie delle parabole).  L è la lunghezza sia del raggio della faccia circolare che dell'altezza rispetto a tale faccia.

Si tratta del solido ottenuto mediante la rotazione di una figura piana attorno ad un suo lato. Cerchiamo di scegliere un sistema di riferimento in modo che sia possibile descrivere il profilo curvilineo della figura piana come il grafico di una funzione F. Possiamo supporre che L=1, ovvero assumere L come unità di misura. Il volume così ottenuto lo trasformeremo moltiplicando per L3. Ci conviene scegliere il riferimento nel modo illustrato a lato. La parabola ha equazione y=x2 (una parabola y=kx2 che passi per (1,1) deve avere k=1), ovvero F(x) = x2. Il solido è approssimabile con l'unione di tanti dischetti di spessore Δx e raggio F(x), ovvero la varizione ΔV del volume V al passare da x a x+Δx è approssimabile con πF(x)2 (area del dischetto di raggio F(x)) per Δx:  dV = πF(x)2dx. Dato che x varia in I = [0,1], il volume è V = ∫IπF(x)2dx = ∫Iπx4dx = (πx5/5)x=1 = π/5.

Controlliamo l'ordine di grandezza riferendoci al cono di "raggio" 1 e "altezza" 1, che dovrebbe avere volume leggeremente maggiore; il volume di questo è π/3, che è effettivamente leggeremente inferiore a π/5. Quindi il volume cercato è πL3/5.

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Volendo fare il grafico con R:

par( mai = c(0.2,0.2,0.2,0.2) )
cerchio <- function(r,c1,c2,h) {t <- seq(0,2*pi,len=360);
         lines(trans3d(cos(t)*r+c1,sin(t)*r+c2,h,pmat=F)) }
x <- c(-1,1); y <- c(-1,1); z0 <- c(0,1)
u <- rep(z0[1],4); z <- array(u,dim=c(2,2))
ph <- 30
F <- persp(x,y,z,theta=30,phi=ph,scale=FALSE,zlim=z0,xlim=x,ylim=y,d=1)
for(v in seq(0,1,len=20)) cerchio(v^2,0,0,v)
lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(0,z0[2]),pmat=F),col="blue",lty=3)
lines(trans3d(c(0,x[2]),c(0,0),c(0,0),pmat=F),col="blue",lty=3)
lines(trans3d(c(0,0),c(0,y[2]),c(0,0),pmat=F),col="blue",lty=3)
yy <- seq(0,1,len=1000); lines(trans3d(yy^2,0,yy,pmat=F),col="red")
# Copia da F in poi, prova con altri ph tra -90 e 90 (ad es. ph <- 10 )
# (e incolla quanto hai copiato)