(1) Trovare una funzione F e un intervallo I di R, il più ampio possibile, tali che F sia derivabile in I, −π ∈ I, F(−π) = 1 e F'(x) = cos(2x).
(2) Sia G la funzione derivata di F. Determinare l'area della figura compresa tra il grafico di G e le rette y = 0, x = −π e x = 0.

(1) Dx(sin(2x)/2) = cos(2x); gli altri termini la cui derivata rispetto a x è cos(2x) hanno la forma sin(2x)/2+c. I segmentini raffigurati a lato descrivono l'andamento delle curve y=sin(2x)/2+c al variare di c: sono tutte le curve frutto di traslazioni verticali di y=sin(2x)/2. Il quesito chiede di trovare F che abbia come grafico quella di queste curve che passa per (-π,1): affinché F(x) = sin(2x)/2+c e F(−π)=1 deve essere sin(−2π)/2+c=1, ossia c=1. Dunque la nostra funzione, definita su I = R, è F(x) = sin(2x)/2+1.  Controllo con WolframAlpha: y' = cos(2*x), y(-PI)=1   →   y(x) = sin(x) cos(x) + 1  (=sin(2x)/2+1).

(2) G(x) = F'(x) = cos(2x). Dobbiamo calcolare: | ∫[−π,0]G | = | F(0)−F(−π) | = | sin(0)−sin(−2π) | = 0.

# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
boxww(-2*pi,2*pi, -1,2)
diredif(-2*pi,2*pi,-1,2, 40,20)
abline(v=0,h=0,lwd=2,col="red")
underX(c("-2pi","-pi","0","pi","2pi"),pi*(-2:2))
underY(-2:2,-2:2)
abline(h=-2:2,v=pi*(-2:2),lwd=1,col="red",lty=2)
F = function(x) sin(2*x)/2+1; graph2(F,-7,7, "blue")
POINT(-pi,1,"red")
                   
# Volendo controllare i calcoli:
deriv(F,"x"); dF = function(x) eval(deriv(F,"x"))
# cos(2*x)*2/2  =  cos(2*x)
abs(integral(dF,-pi,0))
# 2.179918e-16  praticamente 0