Studiare l'esistenza di  0 sin(x)/x dx  e di  0 |sin(x)|/x dx.

Siccome la prima integranda è pari al valore assolto della seconda, possiamo concludere che se il primo integrale non converge allora non converge neanche il secondo. Sotto sono tracciati i grafici delle due funzioni, che, approssimativamente, dobbiamo saper tracciare a mano (sono compresi tra i grafici di y = 1/x e  di y = -1/x o di y = 0.

Siccome per x → 0 sin(x)/x tende ad 1, siamo sicuri che l'integrale tra 0 e, ad esempio, 2π esiste in entrambi i casi. Per quanto riguarda in generale lo studio degli integrali impropri possiamo fare due supposizioni: la seconda funzione ha grafico che coincide con quello di y=1/x per tutti gli x in cui il seno vale 1 o -1 e, grosso modo, ha andamento proporzionale a quello di y=1/x, per cui ci aspetteremmo che l'integrale improprio diverga come quello di questa funzione; per la seconda funzione, in cui si alternano tratti sopra e tratti sotto all'asse x, ci potremmo aspettare, invece, una convergenza. Facciamo anche un controllo numerico. Effettuiamolo, ad esempio, con R (che riesce a calcolare l'integrale improprio a partire da 0).

Rinviamo a questa pagina per lo studio con R della convergenza del primo integrale a π/2.
Studiamo analogamente la convergenza del secondo integrale.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) abs(sin(x))/x
n=1e1; s0=s; s=0; for(i in 0:n) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 4.10510461307651 2.52522412395145
n=1e2; s0=s; s=0; for(i in 0:n) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 5.51686395424868 1.41175934117217
n=1e3; s0=s; s=0; for(i in 0:n) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 6.97702526308039 1.46016130883171
n=1e4; s0=s; s=0; for(i in 0:n) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 8.44234141091354 1.46531614783316
n=1e5; s0=s; s=0; for(i in 0:n) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 9.90815723394858 1.46581582303504
# Ogni volta che si moltiplica n per 10 l'incremento è sempre circa 1.47:
# l'integrale diverge!

Ecco come è stato ottenuto il grafico precedente con R e come è stato realizzato il grafico successivo:

BF=6; HF=4
f = function(x) sin(x)/x; g = function(x) abs(sin(x))/x
graphF(f, 0,30, "blue"); coldash="red"; graph(g, 0,30, 0)
h = function(x) 1/x; k = function(x) -1/x
coldash="brown"; graph(h, 0,30, 0); coldash="brown"; graph(k, 0,30, 0)
type(7,-0.05,"f"); type(4.5,0.1,"g"); type(14,0.15,"h"); type(14,-0.15,"k")
#
# Il grafico della funzione integrale di f
BF=6; HF=3
Plane(0,50, 0,2); Gintegra(f, 0,50, "brown")

Calcolando direttamente, in modo numerico, l'integrale si avrebbe una precisone peggiore di quella ottenuta sopra sommando le varie componenti.

Vediamo uno dei modi in cui si può come sviluppare il calcolo formalmente. Consideriamo il primo integrale e procediamo per parti:
π/2 c sin(x)/x dx = [-cos(x)/x]tra π/2 e cπ/2 c cos(x)/x2 dx
Poiché |cos(x)|/x2 ≤ 1/x2  π/2 cos(x)/x2 dx  converge, e, dunque, siamo arrivati alla conclusione che l'integrale di partenza converge.

La divergenza del secondo integrale può essere facilmente conclusa se si conosce l'andamento della serie armonica ( serie).
0 |sin(x)|/x dx = ∑ k = 1..n (k-1)π |sin(x)|/x dx > k = 1..n ( (k-1)π |sin(x)| dx / (kπ) ) = 2/π ∑ k = 1..n 1/k.

Il calcolo svolto con WolframAlpha:
integrate from x=0 to infinity sin(x)/x dx  fornisce  π/2 = 1.57079632679489661923132169…