Studiare l'esistenza, finita, di _₀∫^{^∞}1/(1+x²) dx

Basta ricordare che la derivata della funzione arcotangente, rappresentata a lato − dominio R, immagine (-π/2, π/2) − è x → 1/(1+x²) per concludere che l'integrale cercato è lim_{c → ∞} atan(c) = π/2.

Come controllare il risultato con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 1/(1+x^2); integral(f, 0,Inf) # 1.570796
o con WolframAlpha:
integrate 1/(1+x^2) dx from x=0 to inf

Potrei anche usare uno script (vedi) per controllare il risultato:

[ integral of fun. - 1/(1+x*x) ]
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0.0000989999995849935   if a=10000 b=1000000 n=1e6 [8.085816142078955e-12]
0.00009899999149917736  if a=10000 b=1000000 n=1e5 [8.085536626491847e-10]
0.00009899918294551471  if a=10000 b=1000000 n=1e4 [0.00009899918294551471]
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0.009899666686915618  if a=100 b=10000 n=1e7 [8.082980465506928e-12]
0.009899666678832637  if a=100 b=10000 n=1e6 [8.084196402580179e-10]
0.009899665870412997  if a=100 b=10000 n=1e5 [8.08392000301722e-8]
0.009899585031212967  if a=100 b=10000 n=1e4 [0.009899585031212967]
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1.5607966601082697  if a=0 b=100 n=1e6 [-9.992007221626409e-15]
1.5607966601082797  if a=0 b=100 n=1e5 [-8.273826068716517e-12]
1.5607966601165535  if a=0 b=100 n=1e4 [1.5607966601165535]
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1.5607966601082697+0.009899666686915618+0.0000999...
1.5607966601082697+0.009899666686915618+0.0001
1.5707963268 = π/2