Siano F: x → sin(x)·ln(2+sin(x)²) e G: x → sin(x)/(cos(x)−2)
(a) Calcolare ∫ _{[-π, π]} F.   (b) Calcolare ∫ _{[-π, π]} F−G.
(c) Calcolare (eventualmente in modo approssimato) l'area compresa tra i grafici di F e di G e le rette verticali di ascissa -π e π.

(a) F(−x) = F(x), come si può immediatamente verificare, e come è suggerito dal grafico. Quindi il primo integrale è nullo.
(b) Per motivi analoghi G ha integrale nullo in [-π, π]. Quindi è nullo anche l'integrale sullo stesso intervallo di F−G.
(c) L'area cercata è il doppio dell'area compresa tra i grafici di F e di G, l'asse y e la retta x = π. Mediante il calcolo approssimato dell'integrale posso ottenere 6.0939653. Ecco come fare il calcolo con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) sin(x)*log(2+sin(x)^2)
G = function(x) sin(x)/(cos(x)-2)
f = function(x) F(x)-G(x)
integral(f, 0,pi)*2      # 6.093965
more(integral(f, 0,pi)*2) # 6.09396525518736
#
# Per fare il grafico raffigurato:
BF=4.5; HF=2.5
TICKx=pi/2; TICKy=0.25; Plane2(-3*pi,3*pi, -1.2,1.2)
graph(F, -10,10, "brown"); graph2(G, -10,10, "seagreen")
underX(c("-2pi","-pi","0","pi","2pi"),pi*(-2:2))
underY(-1:1,-1:1)
Diseq(G,F, 0,pi, "orange"); Diseq(F,G, 0,-pi, "orange")
graph2(G, -10,10, "seagreen"); graph(F, -10,10, "brown")
POINT(c(-pi,pi),c(0,0), "red")
type(-pi/2,0.75,"G"); type(pi,0.75,"F")

Sviluppando il calcolo "a mano" o con un programma di calcolo simbolico avremmo potuto ottenere l'espressione:  2 (2·ln(2)+ln(3)−4+2√3·(ln(3+√3)−ln(−√3+3))) ovvero:
2*(2*log(2)+log(3)-4+2*sqrt(3)*(log(3+sqrt(3))-log(-sqrt(3)+3)))
che ha lo stesso valore trovato sopra.

Potrei effettuare il calcolo anche con uno script (vedi):

[ integral of fun. - abs(sin(x)*log(2+pow(sin(x),2))-sin(x)/(cos(x)-2)) ]
 - - - - - - - -
6.093965255187238  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=64e5  [-7.904787935331115e-13]
6.093965255188029  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=32e5  [-2.6991742174686806e-12]
6.093965255190728  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=16e5  [-1.0608403044898296e-11]
6.093965255201336  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=8e5   [-4.203482006914783e-11]
6.093965255243371  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=4e5   [-1.6774137634456565e-10]
6.093965255411113  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=2e5   [-6.709530708803868e-10]
6.093965256082066  if a=-3.141592653589793 b=3.141592653589793 n=1e5   [6.093965256082066]