Calcolare (numericamente) la lunghezza della curva  y = x2 per x in [0,3].

Devo calcolare  [0, 3] √( 1 + f '(x)2 ) dx  con f(x) = x2.  f '(x) = 2x.  Quindi devo calcolare [0, 3] √( 1 + 4x2 )

Con, ad esempio, R (vedi) ottengo:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) sqrt(1+4*x^2)
L= integral(F, 0,3); L; more(L)
#  9.747089  9.74708875860856
# o, più brutalmente:
f = function(x) x^2
more(lengFun(f, 0,3, 1e4))
# 9.74708875121065
more(lengFun(f, 0,3, 1e5))
# 9.74708875853462
more(lengFun(f, 0,3, 1e6))
# 9.74708875860787
more(lengFun(f, 0,3, 1e7))
# 9.74708875860877
# Posso prendere 9.747088758609

Oppure posso usare uno script online (vedi):

[ arc lenght  -  x(t)=  t  -  y(t)=  t*t ]
 - - - - - - - -
9.747088758608024  if a=0 b=3 n=64e5 [-4.2810199829546036e-13]
9.747088758608452  if a=0 b=3 n=32e5 [2.877698079828406e-13]
9.747088758608164  if a=0 b=3 n=16e5 [1.142197447734361e-12]
9.747088758607022  if a=0 b=3 n=8e5  [3.2027713814386516e-12]
9.74708875860382   if a=0 b=3 n=4e5  [1.3635315099236323e-11]
9.747088758590184  if a=0 b=3 n=2e5  [5.5560889222761034e-11]
9.747088758534623  if a=0 b=3 n=1e5  [9.747088758534623]
 - - - - - - - -
Fino a n=32e5 le variazioni sono regolari. Arrotondo a 9.747088758609 

[simbolicamente potrei trovare 3/2·√37 − ln(−6+√37)/4 = 9.747088758608557…; con WolframAlpha avrei battuto:
integrate sqrt(1+4*x^2) dx from 0 to 3
ovvero semplicemente:
curve y=x^2, x=0..3]

    Per altri commenti: Altri usi degli integrali neGli Oggetti Matematici.