La lunghezza, da t=0 a t=2, dell'arco di curva di equazioni parametriche x = t2/2, y = (6t+9)3/2/9 è:
    A) 10    B) 12    C) 8    D) 14

Facciamo subito grafico e calcoli con R (vedi) e poi ragioniamoci.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
X=function(t) t^2/2; Y=function(t) (6*t+9)^(3/2)/9
PLANE(-1,15, -1,15)
par1(X,Y, -10,10, "red"); param(X,Y, 0,2, "brown")
POINT(X(0),Y(0),"blue"); POINT(X(2),Y(2),"seagreen")
lengPar(X,Y, 0,2, 200)
# 7.999999         approssimo con polig. di 200 lati
lengPar(X,Y, 0,2, 400)
# 8                di 400 lati

 





La risposta corretta è C.  Vediamo come potrei arrivarci senza calcoli. 
Schizzo il grafico della curva, che va da (3,0) a, circa (2,10.7). 
Posso approssimare l'arco con un segmento lungo √(8^2+2^2),
ossia circa 8 (10 sarebbe decisamente troppo grande).

Proviamo a capire come è stata ottenuta la soluzione fornita, assieme alle considerazioni
svolte  qui.

Posto x = f(t), y = g(t),  f'(t) = t, g'(t) = √(6t+9); l'integrale tra 0 e 2
della radice della somma dei loro quadrati è:

∫ [0,2] √(t²+6t+9) dt =
∫ [0,2] √((t+3)²) dt =
[poiché t+3>0 per t tra 0 e 2] 
∫ [0,2] t+3 dt = 2²/2+3·2 = 8



Faccio anche questi calcoli con R:


dX = function(t) eval(deriv(X,"t"))
dY = function(t) eval(deriv(Y,"t"))
F = function(t) sqrt(dX(t)^2+dY(t)^2)
integral(F, 0,2)
# 8             OK





Potrei anche fare i conti e grafico con WolframAlpha (che però
traccia il grafico non in scala monometrica):

arc length of ( t^2/2, (6*t+9)^(3/2)/9 ) from t=0 to 2






Oppure posso usare un semplice script online
(vedi):


[ arc lenght  -  x(t)=  t*t/2  -  y(t)=  pow(6*t+9,3/2)/9 ]
 - - - - - - - -
8.000000000000002   if a=0 b=2 n=1e6  [5.609734898825991e-12]
7.999999999994392   if a=0 b=2 n=1e5  [5.551905601919316e-10]
7.9999999994392015  if a=0 b=2 n=1e4  [5.551788628821441e-8]
7.999999943921315   if a=0 b=2 n=1e3  [7.999999943921315]