Trovare, nell'intervallo contenente 0 il più ampio possibile, tutte le funzioni aventi in esso come derivata x → tan(x)4.
[traccia: integrare per sostituzione ponendo u = tan(x)]

L'intervallo più ampio contenente 0 in cui è definita x → tan(x)4 è (-π/2, π/2)
Pongo u = tan(x); du/dx = 1+tan(x)2
Uso ∫f(x) dx per indicare un generico termine g(x) tale che g'(x)=f(x)
∫ tan(x)4dx = ∫ u4/(1+u2) du
u4 diviso per 1+u2 ha come quoziente u2-1 e resto 1:
u4/(1+u2) equivale a u2-1 + 1/(1+u2)
∫ u4/(1+u2) du = ∫ u2-1 du + ∫ 1/(1+u2) du = u3/3 - u + atan(u) + C
Nel nostro intervallo atan(tan(x)) = x, quindi:
∫ tan(x)4dx = tan(x)3/3 - tan(x) + x + C
Le funzioni cercate sono dunque x → tan(x)3/3 - tan(x) + x + C al variare C numero reale.

y(x) = c_1 + x - (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x)
- (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x) - ( tan(x)^3/3 - tan(x) )
0

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.

Controllo con WolframAlpha:
expand( derivative tan(x)^3/3 - tan(x) + x + C dx )
    tan(x)^4
      Posso trovare direttamente anche la soluzione:
y' = tan(x)^4       C + x - (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x)
Posso verificare l'equivalenza con la soluzione prima trovata:
- (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x) - ( tan(x)^3/3 - tan(x) )     →   0

# Come controllare facilmente la soluzione con R (vedi).
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=2.5
Plane(-5,5, -1,5)
f = function(x) tan(x)^4
g = function(x) tan(x)^3/3-tan(x)+x
h = function(x) eval( deriv(g,"x") )
graph(f, -5,5, "brown"); graph1(h, -5,5, "green")
          
# OK