Trovare, nell'intervallo contenente 0 il più ampio possibile, tutte le funzioni aventi in esso
come derivata
[traccia: integrare per sostituzione ponendo u = tan(x)]
L'intervallo più ampio contenente 0 in cui è definita
Pongo u = tan(x); du/dx = 1+tan(x)2
Uso ∫f(x) dx per indicare un generico termine g(x) tale che g'(x)=f(x)
∫ tan(x)4dx = ∫ u4/(1+u2) du
u4 diviso per 1+u2 ha come quoziente u2-1 e resto 1:
u4/(1+u2) equivale a u2-1 + 1/(1+u2)
∫ u4/(1+u2) du = ∫ u2-1 du + ∫ 1/(1+u2) du =
u3/3 - u + atan(u) + C
Nel nostro intervallo atan(tan(x)) = x, quindi:
∫ tan(x)4dx = tan(x)3/3 - tan(x) + x + C
Le funzioni cercate sono dunque
Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.
Controllo con WolframAlpha:
expand( derivative tan(x)^3/3 - tan(x) + x + C dx )
tan(x)^4 Posso trovare direttamente anche la soluzione:
y' = tan(x)^4 C + x - (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x)
Posso verificare l'equivalenza con la soluzione prima trovata:
- (4 tan(x))/3 + 1/3 tan(x) sec^2(x) - ( tan(x)^3/3 - tan(x) ) → 0
# Come controllare facilmente la soluzione con R (vedi). source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") BF=3; HF=2.5 Plane(-5,5, -1,5) f = function(x) tan(x)^4 g = function(x) tan(x)^3/3-tan(x)+x h = function(x) eval( deriv(g,"x") ) graph(f, -5,5, "brown"); graph1(h, -5,5, "green") # OK