Utilizzando le istruzioni a cui puoi accedere da qui o da qui o da qui, o gli script accessibili da qui, calcola la lunghezza delle seguenti curve, nel piano o nello spazio:
cerchio, x=cos(t), y=sin(t), per t in [0,2π]
cicloide, x=t-sin(t), y=1-cos(t), per t in [0,2π]
elica, x=cos(t), y=sin(t), z=t, per t in [0,10π]
la curva x=cosh(t), y=sinh(t), z=t, per t in [0,π]

Per gli script, vedi "arc lenght" e "arc 3D lenght" qui.  Per R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
x = function(t) cos(t); y = function(t) sin(t)
lengPar(x,y, 0,2*pi, 1e3); lengPar(x,y, 0,2*pi, 1e4)
#    6.283175               6.283185
# ovvero:
x1 = function(t) eval(deriv(x,"t"))
y1 = function(t) eval(deriv(y,"t"))
F = function(t) sqrt(x1(t)^2+y1(t)^2)
integral(F,0,2*pi)
# 6.283185
#
x = function(t) t-sin(t); y = function(t) 1-cos(t)
lengPar(x,y, 0,2*pi, 1e3); lengPar(x,y, 0,2*pi, 1e4)
#    7.999997               8
# ovvero:
integral(F,0,2*pi)
# 8
#
x = function(t) cos(t); y = function(t) sin(t); z = function(t) t
lengPar3(x,y,z, 0,10*pi, 1e4); lengPar3(x,y,z, 0,10*pi, 1e5)
#    44.42882               44.42883
# ovvero:
z1 = function(t) eval(deriv(z,"t"))
F = function(t) sqrt(x1(t)^2+y1(t)^2+z1(t)^2)
integral(F,0,10*pi)
# 44.42883
#
x = function(t) cosh(t); y = function(t) sinh(t); z = function(t) t
lengPar3(x,y,z, 0,pi, 1e4); lengPar3(x,y,z, 0,pi, 1e5)
#    16.33238               16.33238
# ovvero:
integral(F,0,pi)
# 16.33238
#
# come tracciare una curva nello spazio (penultimo es.)
t <- seq(0,10*pi,len=1000)
z0 <- c(0,10*pi); u <- rep(z0[1],4)    # metto in u la base del box
z <- array(u,dim=c(2,2)); x <- c(-1.5,1.5); y <- c(-1.5,1.5)
F <- persp(x,y,z, theta=20,phi=5, scale=TRUE, zlim=z0,xlim=x,ylim=y,
          d=1, ticktype="detailed", nticks=3)
lines(trans3d(cos(t),sin(t),t,pmat=F),col="blue")

# Potevo anche usare WolframAlpha. Ad es. per la 2a curva:
arc length of ( t-sin(t), 1-cos(t) ) from t=0 to 2*pi
# Per la 3a:
arc length of ( cos(t), sin(t), t ) from t=0 to 10*pi