Considera la successione delle funzioni f 1, f 2, f 3, ... definite e continue su [0,1] di cui sotto è tracciato il grafico [ad es. il grafico di f 2 passa linearmente da (0,0) a (1/4,1) e poi a (1/2,0) per proseguire sull'asse x, quello di f 3 passa da (0,0) a (1/6,3/2) e poi a (1/3,0) per poi proseguire sull'asse x, …].

Confronta  ∫ _[0,1] ( lim _{n → ∞} f n(x) ) dx  e  lim _{n → ∞} ∫ _[0,1] f n(x) dx.  [Nota: con  F(x) = lim _{n → ∞} f n(x)  si intende che per ogni input x la successione di numeri f n(x) converge a F(x)]

Tutte le funzioni f n considerate hanno grafico che delimita con l'asse x un triangolo di area 1/4, quindi  ∫ _[0,1] f n(x) dx = 1/4 e il secondo limite è pari a lim _{n → ∞} 1/4, ossia ad 1/4.
Invece per ogni x in (0,1] la successione f n(x), ossia le ordinate dei grafici di ascissa x delle f n (che tendono a spiaccicarsi sull'asse x), tende a 0. Inoltre per ogni n f n(0) = 0. Quindi per ogni x in [0,1]  lim _{n → ∞} f n(x) = 0.
I due limiti sono dunque diversi.
L'obiettivo di questo esercizio è quello di mettere in luce le attenzioni che bisogna prestare nell'affrontare lo studio dei limiti. Qualche osservazione la abbiamo già fatta in contesti più semplici (vedi). Se vuoi approfondire la questione puoi esaminare la voce "Successioni e serie di funzioni" a cui accedi dagli "Approfondimenti", elencati alla fine del Sommario.

Per curiosità, come sono stati ottenuti i grafici precedenti con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) ifelse(x<1/(2*n), n^2*x, ifelse(x<1/n,(-n^2)*(x-1/n),0))
BF=5; HF=2.7; Plane(0,1, 0,4.5)
n=1;graph1(f,0,1, "blue"); n=2;graph1(f,0,1,"red"); n=3;graph1(f,0,1,"seagreen")
n=4;graph1(f,0,1, "blue"); n=5;graph1(f,0,1,"red"); n=6;graph1(f,0,1,"seagreen")
n=7;graph1(f,0,1, "blue"); n=8;graph1(f,0,1,"red")
for(n in 1:8) print( integral(f,0,1) )
#  0.25  0.25  0.25 ...
for(i in 1:8) {n=i; x=maxmin(f,0,1/n); text(x+0.03,f(x)+0.3,font=2,cex=0.9, i)}