Sia F(x) = x sin(x) se 0 ≤ x ≤ π/2, F(x) = 2x sin(x) altrimenti. Determinare ∫ _[0,π] F.

Per parti:
∫ x sin(x) dx = ∫ x D(-cos)(x) dx = -x cos(x) - ∫ cos(x) dx = -x cos(x) - sin(x) + C
∫ 2x sin(x) dx = 2 ∫ x sin(x) dx
∫ _[0,π] F = ∫ _[0,π/2] F + ∫ _[π/2,π] F = [-x cos(x) - sin(x)]_x=π/2-[-x cos(x) - sin(x)]_x=0 + 2( [-x cos(x) - sin(x)]_x=π-[-x cos(x) - sin(x)]_x=π/2 ) = -1-0 + 2(π) = 2π-1 = 5.283185307… ≈ 5.3

Posso verificare la cosa (o congetturare, grosso modo, il valore prima di sviluppare i calcoli) tracciandone il grafico. A destra lo abbiamo fatto con questo script:

Con questo script potrei anche approssimare il valore dell'integranle:
5.28318530747915  if a=0 b=3.141592653589793 n=1e5 [5.28318530747915]
5.283185307182707 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e6 [-2.964428702512123e-10]
5.283185307179759 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e7 [-2.9478641749847156e-12]
5.283185307180309 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e8 [5.497824417943775e-13]
La differenza è prima circa -3*10^-10, -3*10^-12, poi incominci a "sballare".  Mi fermo e apprrossimo a 5.28318530718.  Rocordando che 2*π = 6.28… posso supporre, e poi immediatamente verificare, che l'integrale è 2*π-1.

Con WolframAlpha otterrei: integral piecewise[{ {x*sin(x), x <= PI/2}, {x*2*sin(x), PI/2 < x} }], x=0..PI 5.2831853071795864769252...

Posso verificare facilmente la cosa anche con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f1 = function(x) x*sin(x); f2 = function(x) 2*x*sin(x)
f = function(x) ifelse(x >=0 & x <= pi/2, f1(x), f2(x) )
integral(f,0,pi)
# 5.283185
2*pi-1
# 5.283185
BF=3; HF=2.5; graphF( f, -0.5,3.5, "brown")
Z = function(x) 0
Diseq(Z,f, 0,pi, "orange"); graph( f, -0.5,3.5, "brown")
                

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.