Studiare l'esistenza di -1 ∫ 1 1/x dx e di -1 ∫ 1 1/√|x| dx.
Il primo integrale non esiste in quanto 0 ∫ 1 1/x dx diverge.
0 ∫ 1 1/√x dx
= lim t → 0+
t ∫ 1 1/√x dx
= lim t → 0+ (2 − 2√t) = 2
−1 ∫ 0 1/√−x dx
= lim t → 0−
−1 ∫ t 1/√−x dx
= lim t → 0- (−2√−t + 2) = 2
Quindi
-1 ∫ 1 1/√|x| dx
= −1 ∫ 0 1/√−x dx
+ 0 ∫ 1 1/√x dx
= 2+2 = 4
Nota. Con R - introdotto
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
se batto:
f = function(x) 1/sqrt(abs(x)); integral(f,-1,1)
ottengo il messaggio "non-finite function value". Ma se faccio:
integral(f,-1,0) + integral(f,0,1)
o definisco comunque f in 0:
f = function(x) ifelse(x == 0, 0, 1/sqrt(abs(x)) ); integral(f,-1,1)
ottengo 4.
Potrei anche usare uno script (vedi) per controllare il risultato:
[ integral of fun. - 1/sqrt(x) ] - - - - - - - - 1.9999395101358346 if a=0 b=1 n=1e8 [0.0005444087792758623] 1.9993951013565587 if a=0 b=1 n=1e6 [0.005444087582440638] 1.993951013774118 if a=0 b=1 n=1e4 [0.05443879480573344] 1.9395122189683847 if a=0 b=1 n=1e2 [1.9395122189683847] - - - - - - - - 0.0005444*(1+0.1+0.01+...) = 0.0005444*10/9 = 0.0006048889 1.9999 + 0.0006 = 2