Calcolare    ∫ 1/√(a2−x2) dx   (procedere per sostituzione)

In prima battuta faremmo così:  t = x/a,  dt/dx = 1/a,  dx = a dt
1/a ∫ a/√(1−t2) dt = ∫ 1/√(1−t2) dt
1/3·∫ (1 − t2)2 dt = 1/3·∫ t4 − t2 + 1 dt = t5/15 − 2·t3/9 + t/3 = arcsin(t)
∫ 1/√(a2−x2) dx = arcsin(x/a) (+ c)
Tutto sembra tornare, ma in questo calcolo, all'inizio, abbiamo portato fuori la costante a dalla radice supponendo che fosse positiva.  Nel caso in cui a sia negativo otteniamo (con calcoli analoghi o, direttamente, ragionando):
∫ 1/√(a2−x2) dx = −arcsin(x/a) (+ c)
Nel caso in cui a sia nullo l'integranda non è definita.

Con WolframAlpha ottengo il termine equivalente (per a positivo o negativo):
arctan(x/sqrt(a^2-x^2))

Verifica con R (vedi):

# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")     da non caricare se già fatto
k = 1                                  # Per  k  positivo:
g = function(x) 1/sqrt(k^2-x^2)
f = function(x) asin(x/k)
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
BF=3; HF=2.5; a=-1.5; b=1.5; Plane(a,b, -1,4)
graph(g, a,b, "brown"); graph1(df,a,b, "green")   # OK: grafici sovrapposti
text(-0.75,-1/2,"k=1",cex=0.9,font=2)
k = -1                                 # Per  k  negativo:
f = function(x) -asin(x/k)
BF=3; HF=2.5; a=-1.5; b=1.5; Plane(a,b, -1,4)
graph(g, a,b, "brown"); graph1(df,a,b, "green")   # OK: grafici sovrapposti
text(-0.75,-1/2,"k=-1",cex=0.9,font=2)
# Controllo l'equivalenza tra atan(x/sqrt(k^2-x^2)) e ± asin(x/k) k = 1; h = function(x) atan(x/sqrt(k^2-x^2)); graphF(h, -1,1, "brown") h1 = function(x) asin(x/k); graph1(h1, -1,1, "orange") k = -1; raph1(h2, -1,1, "red") # se cambio segno a k anche h1 lo cambia text(-1/4,3/4,"k = -1"); text(-1/4,-3/4,"k = 1")

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.