Calcola    ∫ √(1 − x²) dx    (procedi con un'opportuna sostituzione trigonometrica)

Pongo √(1 − x²) = cos(θ), ho dx = cos(θ) dθ e mi riconduco a:
∫ √(1 − sin(θ)²) cos(θ) dθ = ∫ cos(θ)² dθ = ∫ (1+cos(2θ))/2 dθ = θ/2 + sin(2θ)/4,  da cui:
∫ √(1 − x²) dx = arcsin(x)/2 + sin(2 arcsin(x))/4 = arcsin(x)/2 + sin(arcsin(x))·cos(arcsin(x)) = arcsin(x)/2 + x·√(1−x²)/2

Controllo grafico: x → √(1 − x2) x → arcsin(x)/2 + x·√(1−x2)/2

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.

# I grafici con R:
# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) sqrt(1-x^2)
PLANE(-1,1, -1,1); graph(f,-1,1, "blue")
Gintegra(f, 0,1, "red"); Gintegra(f, 0,-1, "brown")
# sovrappongo, in verde, il grafico della h seguente:
h <- function(x) asin(x)/2 + x*sqrt(1-x^2)/2
graph1(h,-1,1, "green")