(x+2)2 = x2 + 4x + 4 (x+2)2 + 1 = x2 + 4x + 5
∫ 1 / ((x+2)2 + 1) dx = atan(x+2) (+ C)
Verifica:
Calcola ∫ 1 / (x2 + 4x + 5) dx
| Questo è un denominatore non scomponibile
(vedi il suo grafico a lato), e l'integranda è definita su tutto R.
Procedo provando a completare il quadrato, in modo da ricondurmi a
(x+2)2 = x2 + 4x + 4 (x+2)2 + 1 = x2 + 4x + 5 ∫ 1 / ((x+2)2 + 1) dx = atan(x+2) (+ C) Verifica: | |
Dx atan(x+2) = 1/((x+2)2+1) = 1/(x2+4x+5)
Per altri commenti:
calcolo di integrali
neGli Oggetti Matematici.
Vediamo come controllare la soluz. graficamente con R (vedi).
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # se lo hai già caricato, non serve
g = function(x) 1/(x^2+4*x+5); f = function(x) atan(x+2)
BF=3; HF=2.5; a=-5; b=5; graphF(g, a,b, "brown")
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
graph1(df,a,b, "green")
# OK: i grafici di integranda e di derivata dell'integrale si sovrappongono
#
Plane(a,b, -1.5, 1.5)
graph(g, a,b, "brown"); graph(f, a,b, "red")
maxmin(g,-3,0)
# -2
POINT(c(-2,-2), c( g(-2),f(-2) ),"blue")
# Il grafico dell'integranda e dell'integrale
# Controllo della derivata:
deriv(f,"x")
# 1/(1 + (x + 2)^2) OK