Calcola le primitive di f : x → 1/(x²−x) per x in (0,1) e determina la primitiva g tale che g(1/2) = 0

Idea: cerco di esprimere l'integranda come somma di frazioni aventi per denominatore i fattori del denominatore attuale:
a/x + b/(x−1) = 1/(x²−x)     (−a+ax+bx) / (x(x−1)) = 1 / (x(x−1)).
Posso prendere a = −1 e b = 1.  ∫ 1/(x²−x) dx = ∫ −1/x + 1/(x−1) dx.
Per x in (0,1) x > 0 e x−1 < 0, per cui, a meno di costanti additive:
∫ 1/x dx = log(x)  e  ∫ 1/(x−1) dx = log(1−x), per cui, per tali x,  ∫ f(x) dx = −log(x) + log(1−x) (+c)
Ora cerco g(x) = −log(x) + log(1−x) + c tale che g(1/2) = 0. Trovo c = 0. Dunque g(x) = −log(x) + log(1−x).

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.

Vediamo come controllare la soluz. graficamente con R (vedi).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")     # se lo hai già caricato, non serve
f = function(x) 1/(x^2-x)
BF=3; HF=2.5; a=-1; b=2; Plane(a,b, -10,10)
graph(f, a,b, "brown")
g = function(x) -log(x)+log(1-x)
dg = function(x) eval( deriv(g,"x") )
graph1(dg, a,b, "green")   # OK: i grafici si sovrappongono
# la derivata:
deriv(g,"x")
# -(1/(1 - x) + 1/x)  ->  1/(x^2-x)