Esercizio non facile: calcola (procedendo per parti)  (1)  ∫ x·arctan(x) dx   (2)  ∫ arcsin(x) dx

D(f·g) = D(f)·g + g·D(f)  →  g·D(f) = D(f·g) − D(f)·g  →  ∫g·D(f) = f·g − ∫D(f)·g
(1)  g(x) = arctan(x), f(x) = 1/2·x²
Ricordo che  D(arctan)(x) = 1/(1+x²)
∫ x·arctan(x) dx = 1/2·x²·arctan(x) − 1/2·∫ x²/(1+x²) dx = 1/2·x²·arctan(x) − 1/2·∫ 1−1/(1+x²) dx = 1/2·x²·arctan(x) − 1/2·x + 1/2·arctan(x) [+ costante]
(2)  g(x) = arcsin(x), f(x) = 1
Ricordo che  D(arcsin)(x) = 1/√(1-x²)
∫ arcsin(x) dx = x·arcsin(x) − ∫ x/√(1−x²) dx =
  uso la sostituzione  t = 1−x², dt/dx = −2x
= x·arcsin(x) − 1/2·∫ u^−1/2 du = x·arcsin(x) + u² [+ costante] = x·arcsin(x) + √(1−x²) [+ costante]

Vediamo come controllare la soluz. graficamente con R (vedi).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")     # se lo hai già caricato, non serve
g = function(x) x*atan(x)
BF=3; HF=2.5; a=-5; b=5; graphF(g, a,b, "brown") # grafico di g
f = function(x) (x^2*atan(x)-x+atan(x))/2
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
graph1(df,a,b, "green")          # OK: il grafico si sovrappone
#
g = function(x) asin(x)
BF=3; HF=2.5; a=-1; b=1; Plane(a,b, -2,2)
graph(g, a,b, "brown")
f = function(x) x*asin(x)+sqrt(1-x^2)
graph1(df,a,b, "green")   # OK: i grafici si sovrappongono