Calcola (per sostituzione)  (1)  ∫ exp(x)√(1+exp(x)) dx   (2)  ∫ sin(3·log(x))/x dx

1)   t = 1+exp(x), dt/dx = exp(x)
∫ exp(x)√(1+exp(x)) dx = ∫ t^1/2 dt = 2/3·t^3/2 [+costante] = 2/3·(1+exp(x))^3/2 [+costante]
2)   t = 3·log(x), dt/dx = 3/x
∫ sin(3·log(x))/x dx = 1/3·∫ sin(t) dt = −1/3·cos(t) [+costante] = −1/3·cos(3·log(x)) [+costante]

Vediamo come controllare la soluz. graficamente con R (vedi).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")     # se lo hai già caricato, non serve

g = function(x) exp(x)*sqrt(1+exp(x))
BF=3; HF=2.5; a=-2; b=2; graphF(g, a,b, "brown")
f = function(x) 2/3*(1+exp(x))^(3/2)
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
graph1(df,a,b, "green")   # OK: i grafici si sovrappongono
# facciamo anche il controllo simbolico:
deriv(f,"x")
# 2/3*((1 + exp(x))^((3/2)-1)*((3/2)*exp(x))) -> (1+exp(x))^(1/2)*exp(x) OK
#
g = function(x) sin(3*log(x))/x
BF=3; HF=2.5; a=0; b=3; Plane(a,b, -3,6)
graph(g, a,b, "brown")
f = function(x) -1/3*cos(3*log(x))
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
graph1(df,a,b, "green")   # OK: i grafici si sovrappongono
# controllo simbolico:
deriv(f,"x")
# -(-1/3*(sin(3*log(x))*(3*(1/x)))) -> sin(3*log(x))/x