Calcolare      ∫ x² log(x) dx

Procedo per parti (vedi). Cerco di togliermi dai piedi log(x) che non è facilmente integrabile, a differenza della sua derivata; x² è facile vederlo come derivata:
∫ x² log(x) dx = ∫ D_x(x³/3) log(x) dx = x³/3 log(x) − ∫x³/3·1/x dx = x³/3 log(x) − x³/9 (+c)

Possiamo controllare graficamente il risultato sovrapponendo grafico dell'integranda e della derivata dell'integrale con questo script → Possiamo svogere direttamte il calcolo con WolframAlpha: integrate x^2*log(x) dx 1/9*x^3 * (3*log(x) - 1) + constant

Calcolare      ∫ log(x²+1) / x² dx

Procedo per parti. Cerco di togliermi dai piedi log.  x⁻² è facile vederlo come derivata.
∫ log(x²+1) / x² dx = ∫ D_x(−x⁻¹) log(x²+1) dx = −x⁻¹ log(x²+1) + ∫x⁻¹·1/(x²+1)·2x dx = −log(x²+1)/x + 2 ∫1/(x²+1) dx = −log(x²+1)/x + 2 atan(x) (+c)

Possiamo controllare graficamente il risultato sovrapponendo grafico dell'integranda e della derivata dell'integrale con questo script → Possiamo svogere direttamte il calcolo con WolframAlpha: integrate log(x^2+1)/x^2 dx 2*tan^(-1)(x) - log(x^2 + 1)/x + constant

Possiamo controllare il risultato anche con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x^3/3*log(x)-x^3/9
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
g = function(x) x^2*log(x)
BF=3; HF=2.5; graphF(g,0,4, "brown")   # vedi il grafico sotto a sinistra
graph1(df,0,4, "green")                # OK: si sovrappongono

f = function(x) -log(x^2+1)/x+2*atan(x)
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
g = function(x) log(x^2+1)/x^2
graphF(g,-4,4, "brown")   # vedi il grafico sopra a destra
graph1(df,-4,4, "green")  # OK: si sovrappongono

In casi semplici (come il primo) si può usare R anche per controllare le espressioni:
f = function(x) x^3/3*log(x)-x^3/9; deriv(f,"x")
#   3*x^2/3*log(x) + x^3/3*(1/x) - 3*x^2/9
che equivale a  x² log(x)

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.