Calcolare      ∫ x2 sin(3x) dx   

Procedo per parti (vedi). Cerco di abbassare il grado di x2 rimpiazzandolo con la derivata; sin(3x) è facile da vedere come derivata:
∫ x2 sin(3x) dx = ∫x2Dx(−cos(3x)/3)dx = −x2cos(3x)/3 − ∫2x(−cos(3x)/3)dx = #
abbasso di grado la x (sotto l'integale):  ∫x cos(3x)dx =
x sin(3x)/3 − ∫sin(3x)/3
# = −x2 cos(3x)/3 + 2/9 x sin(3x) + 2/27 cos(3x) (+c)

Controlleremo graficamente (sovrapponendo grafico dell'integranda e della derivata dell'integrale) con R (vedi).

Calcolare      ∫ sin(x2) dx

Procedo per parti (ma si può procedere in altri modi). Posso manipolare l'integranda pensando sin(x) come derivata:
∫ sin(x2) dx = ∫sin(x) sin(x) dx = ∫Dx(−cos(x)) sin(x) dx = −cos(x) sin(x) − ∫(−cos(x)) Dx(sin(x))dx = −cos(x) sin(x) + ∫1−sin(x)2dx = −cos(x) sin(x) + x − ∫sin(x)2dx
Quindi  2∫ sin(x)2 dx = x − cos(x)sin(x)  e infine:
∫ sin(x)2 dx = (x − cos(x)sin(x))/2 (+c).

Controlliamo con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) x^2*sin(3*x)
f = function(x) -x^2*cos(3*x)/3+2/9*x*sin(3*x)+2/27*cos(3*x)
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
BF=3; HF=2.5; graphF(g,-5,5, "brown")     # vedi il grafico sotto a sinistra
graph1(df,-5,5, "green")                   # OK: si sovrappongono
g = function(x) sin(x)^2 f = function(x) (x-cos(x)*sin(x))/2 df = function(x) eval( deriv(f,"x") ) graphF(g,-5,5, "brown") # vedi il grafico sotto a destra graph1(df,-5,5, "green") # OK: si sovrappongono # Avrei potuto trovare altre espressioni, e controllare graficamente # se sono equivalenti a (x-cos(x)*sin(x))/2. Es.: h = function(x) x/2-sin(2*x)/4 dh = function(x) eval( deriv(h,"x") ) graph1(dh,-5,5, "red") # OK: si sovrappone anche questo

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.