Calcolare ∫ x2 sin(3x) dx
Procedo per parti (vedi). Cerco di abbassare il
grado di x2 rimpiazzandolo con la derivata; sin(3x) è facile da vedere
come derivata:
∫ x2 sin(3x) dx = ∫x2Dx(−cos(3x)/3)dx =
abbasso di grado la x (sotto l'integale):
∫x cos(3x)dx =
# = −x2 cos(3x)/3 + 2/9 x sin(3x) + 2/27 cos(3x) (+c)
Controlleremo graficamente (sovrapponendo grafico dell'integranda e della derivata dell'integrale) con R (vedi).
Calcolare ∫ sin(x2) dx
Procedo per parti (ma si può procedere in altri modi). Posso manipolare l'integranda pensando sin(x) come derivata:
Quindi 2∫ sin(x)2 dx = x − cos(x)sin(x) e infine:
∫ sin(x)2 dx = (x − cos(x)sin(x))/2 (+c).
Controlliamo con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") g = function(x) x^2*sin(3*x) f = function(x) -x^2*cos(3*x)/3+2/9*x*sin(3*x)+2/27*cos(3*x) df = function(x) eval( deriv(f,"x") ) BF=3; HF=2.5; graphF(g,-5,5, "brown") # vedi il grafico sotto a sinistra graph1(df,-5,5, "green") # OK: si sovrappongonog = function(x) sin(x)^2 f = function(x) (x-cos(x)*sin(x))/2 df = function(x) eval( deriv(f,"x") ) graphF(g,-5,5, "brown") # vedi il grafico sotto a destra graph1(df,-5,5, "green") # OK: si sovrappongono # Avrei potuto trovare altre espressioni, e controllare graficamente # se sono equivalenti a (x-cos(x)*sin(x))/2. Es.: h = function(x) x/2-sin(2*x)/4 dh = function(x) eval( deriv(h,"x") ) graph1(dh,-5,5, "red") # OK: si sovrappone anche questo
Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.