Calcolare      ∫ _{[1, e]} x³ log(x)² dx

Conviene ricondursi prima a un integrale indefinito, ed affrontare questo per parti. Indichiamo con un apice la derivata rispetto ad x:
∫ x³ log(x)² dx = ∫ (x⁴/4)' log(x)² dx = x⁴/4·log(x)² − ∫ x³/2·log(x) dx = (*)
∫ x³·log(x) dx = x⁴/4·log(x) − ∫ x³/4 dx = x⁴/4·log(x) − x⁴/16 + c
(*) = x⁴/4·log(x)² − x⁴/8·log(x) + x⁴/32 + c
∫ _{[1, e]} x³ log(x)² dx = e⁴/4 − e⁴/8 + e⁴/32 − 1/32 = (5e⁴ − 1)/32

Controllo con R (vedi):

# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) x^3*log(x)^2
integral(g, 1,exp(1))
# 8.499711
more(integral(g, 1,exp(1)))
# 8.49971094267878
more((5*exp(1)^4-1)/32)
# 8.49971094267879
#
# o controllo grafico dell'integrale indefinito:
f = function(x) x^4/4*log(x)^2-x^4/8*log(x)+x^4/32 
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
BF=3; HF=2.5; graphF(g,0,5, "brown")      # vedi il grafico sotto
graph1(df,0,5, "green")                   # OK: si sovrappongono

Con WolframAlpha
integral x^3*log(x)^2 dx from x=1 to exp(1)

Ovvero usando degli script (vedi):

[integral of fun. - pow(x,3)*pow(log(x),2)]
8.499710942677998  if a=1 b=2.718281828459045 n=256e4 [1.7603696278456482e-12]
8.499710942676238  if a=1 b=2.718281828459045 n=128e4 [8.466116696581594e-12]
8.499710942667772  if a=1 b=2.718281828459045 n=64e4  [3.340794307860051e-11]
8.499710942634364  if a=1 b=2.718281828459045 n=32e4  [1.3307577262366976e-10]
8.499710942501288  if a=1 b=2.718281828459045 n=16e4  [5.326636909330773e-10]
8.499710941968624  if a=1 b=2.718281828459045 n=8e4   [2.130459364479975e-9]
8.499710939838165  if a=1 b=2.718281828459045 n=4e4   [8.521965355612338e-9]
8.4997109313162    if a=1 b=2.718281828459045 n=2e4   [3.408768023405173e-8]
8.49971089722852   if a=1 b=2.718281828459045 n=1e4   [1.363508363994015e-7]
8.499710760877683  if a=1 b=2.718281828459045 n=5e3   [8.499710760877683]
[pocket calculator - 2]
NE ^ 4 = 54.598150033144236        (A)
A * 5 = 272.9907501657212          (A)
A - 1 = 271.9907501657212          (A)
A  / 32 = 8.499710942678787

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.