Calcolare    ∫ log(x)² dx   (traccia: esprimere prima log(x)² come log(x)·log(x) e quindi usare opportunamente l'espressione di ∫ log(x) dx, ottenibile procedendo per parti)

∫ log(x)² dx = ∫ log(x) log(x) dx
∫ log(x) dx = x·log(x) − x (+ c)  (ottenuta per parti)
∫ log(x) log(x) dx = log(x)·(x·log(x) − x) − ∫ (x·log(x) − x)/x dx = log(x)·(x·log(x) − x) − ∫ log(x) − 1 dx = log(x)·(x·log(x) − x) − ∫ log(x) dx + ∫ 1 dx = log(x)·(x·log(x) − x) − (x·log(x) − x) + x = x·log(x)² − 2x·log(x) + 2x

Posso controllare la risposta con R (vedi) digitando:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f=function(x) x*log(x)^2-2*x*log(x)+2*x
deriv(f,"x")
# poi devo semplificare il risultato
# o, meglio:
g = function(x) log(x)^2
BF=3; HF=2.5; graph(g,0,5, "brown")         # vedi il grafico sotto 
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
graph1(df,0,5, "green")                     # OK: si sovrappongono

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.