Calcolare    ∫ sin(3x) dx  e  ∫ [0,1] sin(3x) dx   (procedere per sostituzione)

Pongo t = 3x, da cui dt/dx = 3, dx = dt/3.
1/3·∫ sin(t) dt = −cos(t)/3
∫ sin(3x) dx = −cos(3x)/3 (+ c)

[0, 1] sin(3x) dx = −cos(3·1)/3 − (−cos(3·0)/3) = −cos(3)/3 + 1/3
oppure   [0, 1] sin(3x) dx = 1/3·∫ [0, 3] sin(t) dt = −cos(3)/3 + 1/3  (posso usare questo metodo in quanto dt/dx = 3 è continua).

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.

Con R (vedi) posso controllare l'integrale definito e, graficamente, quello indefinito):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")   # se già usato non serve
g = function(x) sin(3*x)
integral(t,0,1);  more( integral(t,0,1) )
# 0.6633308   0.663330832200148
more( -cos(3)/3+1/3)
# 0.663330832200148
# controllo l'integrale indefinito:
f = function(x) -cos(3*x)/3; df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
BF=3; HF=2.5; graphF(g,-3,3, "brown")
graph1(df,-3,3, "green")   # OK: si sovrappongono

Con WolframAlpha posso controllare anche simbolicamente l'integrale indefinito battendo: integrate sin(3*x) dx