Calcolare    ∫ _{[1, 2]} sin(3 log(x)) / x dx   (procedere per sostituzione)

In [1,2] l'integranda è definita e continua.  t = 3 log(x),  dt = 3 dx/x,  dx = dt/3·x
∫ sin(t) dt = −cos(t)
1/3·∫ _{[0, 3 log(2)]} sin(t) dt = −cos(3 log(2))/3 + cos(0)/3 = −cos(3 log(2))/3 + 1/3
Ovvero potevo trovare l'integrale indefinito [-cos(3·log(x))/3] e poi quello definito.

  Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.

Controllo con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")  # se già caricato, non serve
g = function(x) sin(3*log(x))/x; integral(g, 1,2)
# 0.4956648
-cos(3*log(2))/3 + 1/3
# 0.4956648     OK!
# Controllo dell'integrale indefinito:
f = function(x) -cos(3*log(x))/3
df = function(x) eval( deriv(f,"x") )
BF=4; HF=2.5; Plane(0,3, -10,10)
graph(g,0,3, "brown"); graph1(df,0,3, "green")    # OK: si sovrappongono

Anche con WolframAlpha posso controllare l'integrale indefinito:
integrate sin(3*log(x)) / x dx

Potrei anche usare uno script (vedi) per controllare il risultato:

[ integral of fun. - sin(3*log(x))/x ]
 - - - - - - - -
0.49566480598859264  if a=1 b=2 n=512e4 [-4.446443213623752e-14]
0.4956648059886371   if a=1 b=2 n=256e4 [-6.06736882957648e-14]
0.4956648059886978   if a=1 b=2 n=128e4 [-2.826072709183336e-13]
0.4956648059889804   if a=1 b=2 n=64e4  [-1.0711986853095823e-12]
0.4956648059900516   if a=1 b=2 n=32e4  [-4.3740011612669605e-12]
0.4956648059944256   if a=1 b=2 n=16e4  [-1.7499612869897874e-11]
0.4956648060119252   if a=1 b=2 n=8e4   [-6.999317792022453e-11]
0.4956648060819184   if a=1 b=2 n=4e4   [-2.799693810118242e-10]
0.49566480636188776  if a=1 b=2 n=2e4   [-1.119872528043686e-9]
0.4956648074817603   if a=1 b=2 n=1e4   [-4.479495274711809e-9]
0.49566481196125556  if a=1 b=2 n=5e3   [0.49566481196125556]
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0.49566480598859