Considera la funzione f definita a lato e la sua rappresentazione grafica, ristretta al dominio [–4,4][–4,4], che ha una forma di cratere. Quanto è profondo il "cratere", cioè quanto differiscono la quota del bordo del cratere dalla quota del suo punto più basso?
(A)  0.5     (B)  1     (C)  1/√2
(D)  √2     (E)  1/3

A, infatti f(0,0) = 1/2, f(P) = 1 per ogni P sul bordo (che ha x e y tali che x²+y²=1, minimizzando il denominatore)

Dettagli e approfondimenti.
• Posso osservare che f(x,y) dipende solo da x²+y², e, quindi, solo dalla distanza di (x,y) da 0. I punti della superficie grafico di f che hanno la stessa distanza dall'asse z, quindi, avranno la stessa quota, ossia il grafico è simmetrico rispetto all'asse z. Di più: è ottenibile dalla rotazione attorno all'asse z di una qualunque curva ottenuta tagliando la superficie con un piano passante per l'asse z. Se la taglio con il piano y=0 la curva che ottengo ha, su tale piano, equazione z = 1/(1+(1-|x|)²). Se mi faccio un'idea di come è fatta questa curva posso semplificare molto la ricerca di massimi e minimi.

 
                      [-4,4] x [-4,4]

Innanzi tutto basta che consideri x≥0, in quanto la parte rimanente è frutto di un ribaltamento attorno all'asse z. z = 1+(1-x)² è una parabola frutto della traslazione di vettore (1,1) della parabola z = x². Il suo grafico è quello tracciato sopra (a sinistra in alto), da cui posso ricavare facilmente (anche solo mentalmente) come è fatto quello che si ottiene passando 1+(1-x)² al reciproco, ossia come è fatta la curva che ruotando attorno all'asse z genera la nostra superficie (vedi grafico sopra a destra in nero): per x → ∞ z tende a 0; ha un massimo assoluto per x=1, dove z vale 1; ha un minimo relativo per x=0, dove vale 1/2 e arriva con pendenza non nulla.
Quindi z=f(x,y) è una superficie "a cratere", con un minimo relativo per (x,y) = (0,0) (dove si ha una punta, senza piano tangente) e massimi assoluti in tutti i punti del bordo del cratere, che è il cerchio orizzontale di centro (0,0,1) e raggio 1.
• Se non mi interessava capire anche l'andamento complessivo della funzione (ad es. per affrontare il questito a risposte predefinite qui proposto), per trovare massimi e minimi potevo ragionare anche direttamente così:
# f(x,y) è sempre positivo e del tipo 1/t, quindi ha max/min dove ha min/max t (il reciproco inverte l'ordine)
# t è del tipo 1+u quindi ma min/max dove lo ha u
# u è del tipo (1-w)^2 con w≥0; ha min per w=1, max per w=0; ivi li ha anche t
# dunque f(x,y) ha max per w=x^2+y^2=1 e min per w=0, ossia x=y=0.
[per considerazioni elementari vedi qui; per considerazioni più generali puoi vedere qui]

I grafici mediante WolframAlpha, con   plot 1/(1+(1-sqrt(x^2+y^2))^2), -4 < x < 4, -4 < y <4   e con   plot 1/(1+(1-sqrt(x^2+x^2))^2), -4 < x < 4:

    Vedi qui come fare il grafico con R: