Le catene di Sant'Antonio (chain letters)

[1]   Questa lettera, del 1935, fa parte di una delle prime catene di Sant'Antonio (chain letters - lettere a catena - in inglese). Cercate di capire come funziona la catena e spiegate come mai viene prospettato proprio quel ricavo (e in quali ipotesi lo si ottiene).

Mrs. Christine Galuppe  828 29th St.Denver, Colo.
Miss Alice Ferguson 1440 Marion St."   "
Mrs. Carl Ferguson1440 Marion St."   "
Miss Katharyn Wiley2317 Dexter St."   "
Miss Thelma Hardy2317 Dexter St."   "
Mrs. Villa Pickens1320 St. Paul St."   "
– This chain was started in the hope of bringing prosperity to you.
– Within three days make five copies of this letter, leaving off the name and address at the top and adding your name and address at the bottom, and mail to five friends to whom you wish prosperity to come.
– In omitting the top name, send that person ten cents (10c) wrapped in paper as a charity donation. In turn, as your name leaves the list you will receive 15 625 letters with donations amounting to $1 562.50.
– Now is this worth a dime to you?
– Have the faith your friend had and the chain will not be broken


 


 
 

Nota. Le catene di Sant'Antonio sono nate più o meno quando si sono diffusi il moderno sistema postale e la capacità di leggere e scrivere, tra fine '800 e inizio '900. Le prime avevano forma di gioco: erano lettere della "buona fortuna" inviate a persone che a loro volta dovevano ciascuna inviarne copia a un dato numero di altre persone, con la promessa di una sorte favorevole per chi prosegue la catena e la minaccia di disgrazie per chi la interrompe. Successivamente, dopo la prima guerra mondiale, sono nate catene che prevedono l'invio di denaro, come quella dell'esercizio, e, poi, anche vere e proprie truffe: alla gente viene chiesto di investire risparmi nell'avvio di qualche attività economica o di diventare distributori di un certo prodotto e procacciare altri distributori. Con l'avvento della posta elettronica il fenomeno si è esteso, a livello sia di scherzo dannoso (messaggi che intasano le caselle di posta, che diffondono virus, …), sia di truffa (ora le leggi vietano sia le "catene di sant'Antonio" che possono creare danni, sia quelle attraverso cui vengono coinvolte le persone in imprese di tipo economico).

[2]   Non sappiamo se tutti proseguono la catena né quanti giorni impiegano a spedire le lettere e quanti queste ne impiegano ad arrivare. Supponiamo, per semplicità, che tutto si svolga in modo uniforme e che passi esattamente una settimana tra l'arrivo della lettera a una persona e l'arrivo di quelle che essa spedisce. Supponiamo, inoltre, che ad ogni invio vengano contattate persone che non erano già state coinvolte nella catena. Indichiamo con n il tempo misurato in settimane da quando è stata inviata la prima lettera della catena e con P(n) il numero persone a cui arriva la lettera dopo n settimane.
Quanto vale P(0)? ____
Quanto vale P(1)? ____
Quanto vale P(2)? ____
Quanto vale P(5)? ____
    Il grafico a lato rappresenta P(n) in funzione di n.
Scegliete opportunamente la scala sull'asse verticale.
    Esprimete P in funzione di n mediante una formula.
            P(n) = …
   

Il numero delle persone coinvolte cresce vertiginosamente. La cosa si vede anche sul grafico: la sua pendenza aumenta molto rapidamente, tanto che, per riuscire a visualizzare P(5), abbiamo dovuto scegliere una scala che ci fa apparire piatti i primi tratti del grafico.

[3]   Proviamo ad esplicitare la pendenza dei vari tratti del grafico. In tutti i tratti n varia di 1 (passa da 0 a 1, poi da 1 a 2, ...): Δn = 1.

da 0 a 1:P(0) = 1P(1) = 5ΔP = 5-1 = 4ΔP / Δn = 4/1 = 4
da 1 a 2:P(1) = 5P(2) = 52ΔP = 52-5 = 5(5-1) = 4·5 ΔP / Δn = 4·5
da 2 a 3:P(2) = ....P(3) = ....ΔP = ....ΔP / Δn = ....
da n a n+1: P(n) = ....  P(n+1) = ....ΔP = ....ΔP / Δn = ....