La decrescita esponenziale

Vi sono anche fenomeni che decrescono con velocità proporzionale alla loro grandezza. Questo accade, ad esempio, nel caso di molti farmaci per la loro eliminazione dall'organismo. Per caratterizzare l'andamento della concentrazione nel sangue di un farmaco di questo tipo se ne indica, in genere, la emivita, ossia il tempo che la concentrazione impiega a dimezzarsi.

[1]   Un farmaco ha emivita di 5 ore. Posta uguale a 1 la concentrazione iniziale, rappresenta graficamente la funzione che al tempo trascorso t (in ore) associa la concentrazione C e cercate di esprimere con una formula come C varia in funzione di t.

I quesiti con domande al plurale ("cercate …") sono affronatabili dalla intera classe o a gruppi.

                        C = 1/2^t/5 = 1/ (⁵√2) ^t

# con R:
C <- function(t) 1/2^(t/5)
plot(C, 0,20, ylim=c(0,1) )
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
abline(v=0, h=0, lty=2, col="blue")
plot(C, 0,20, n=5, type="p", add=TRUE, col="red")

Con WolframAlpha: plot 1/2^(t/5), t=0..20

[2]   Un farmaco ha inizialmente una concentrazione plasmatica di 138 mg/ml. Dopo 20' la concentrazione in mg/ml è 84, dopo 40' è 52, dopo 60' è 30, dopo 80' è 18. Sapendo che l'andamento della concentrazione è approssimativamente esponenziale, schizza il grafico della concentrazione in funzione del tempo a partire dalla rappresentazione dei dati sperimentali. Cercate di individuare una formula che esprima la concentrazione in funzione del tempo.

Il grafico che rappresenta i punti sperimentali, e li congiunge con una spezzata:

# Come tracciare il grafico con R:
plot(c(0,20,40,60,80),c(138,84,52,30,18), ylim=c(0,140),col="blue",xlab="",ylab="")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
abline(v=0, h=0, lty=2, col="blue")
lines(c(0,20,40,60,80),c(138,84,52,30,18),col="red",lty=2)

    La funzione è una esponenziale decrescente, del tipo C: t → 138·a^t con 0 < a < 1. So che il grafico, oltre che per (0,138), passa per (80,18). Quindi occorre che 138·a⁸⁰=18, ovvero che a⁸⁰=3/23.
Posso (1) usare il computer per risolverla rispetto ad a; facciamolo con R:
g <- function(a) a^80-3/23
uniroot(g, c(0,1), tol = 1e-10 )$root
# 0.9748604
Ovvero (2) posso procedere così:
80*log(a) = log(3/23)   log(a) = log(3/23)/80   a = exp(log(3/23)/80) = 0.9748604.
    Naturalmente, questa è una soluzione approssimata (ad es. 138*0.9748604^20 = 82.93306 ≠ 84), in quanto approssimati erano i dati. Possiamo prendere a = 975.

C <- function(t) 138*0.975^t
plot(C, 0,80, ylim=c(0,C(0)) )
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
abline(v=0, h=0, lty=2, col="blue")
plot(C, 0,80, n=5, type="p", add=TRUE, col="red")

Con WolframAlpha: plot 138*0.975^t, t=0..80