Un triangolo, cioè una figura che ha come contorno tre "segmenti", non può avere conche. Ne può avere una figura che ha come contorno quattro segmenti uguali? Ed una che ha come contorno cinque segmenti uguali?
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A destra sono disegnate due figure. Mentre quella a destra ha una "conca" quella a sinistra non ne ha.
Possiamo precisare questa idea dicendo che nella figura a destra si possono trovare due punti
che possono essere collegati con una linea dritta solo uscendo dal contorno. Nella figura a sinistra
invece posso andare da un punto all'altro muovendomi lungo una linea dritta senza mai uscire dal contorno. Un triangolo, cioè una figura che ha come contorno tre "segmenti", non può avere conche. Ne può avere una figura che ha come contorno quattro segmenti uguali? Ed una che ha come contorno cinque segmenti uguali? |
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Questo esercizio è da affrontare prima provando a ragionare liberamente, con carta e matita. Poi è bene affrontarlo con delle aste metalliche forate, o con degli stuzzicadenti. Sotto il problema è invece illustrato con delle immagini costruite con un programma. Una figura con quattro lati uguali è un rombo, o in particolare un quadrato; non presenta, quindi, concavità. Con cinque lati posso invece avere delle conche. Dei due esempi raffigurati nelle due immagini in fondo, quello a sinistra, in cui due angoli consecutivi sono di 90°, è un quadrato da cui è stato tolto un triangolo con i tre lati eguali. L'immagine a destra nel testo dell'esercizio dovrebbe aiutare ad affrontare il problema. Per inciso, abbiamo dimostrato il teorema "esistono poligoni equilateri che presentano delle conche" (nota, per i docenti: è un teorema, come lo è "esitono infiniti numeri primi"; è solo una buffa idea che i teoremi debbano avere una "ipotesi" e una "tesi"; vedi).
È facilissimo costruire immagini simili in JavaScript: vedi.
Per l'insegnante, se è interessato, come sono state costruite le figure (in particolare i pentagoni) con R.
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5
PLANE(0,10, 0,10); co="yellow"; x=c(5,1,5,9); y=c(1,4,7,4); polyC(x,y,co)
#
PLANE(0,10, 0,10); x=c(5,1,5,9); y=c(1,5,9,5); polyC(x,y,co)
#
PLANE(0,10, 0,10); L=sqrt(8^2-4^2); x=c(8,0,0,8,8-L); y=c(0,0,8,8,4); polyC(x,y,co)
#
# L'ultima figura
PLANE(0,10, 0,10); co="brown"
L=5; x1=1; y1=1
a=90; Direction(x1,y1, a,L, co); x2=Directionx; y2=Directiony
a=30; Direction(x2,y2, a,L, co); x3=Directionx; y3=Directiony
a=-60; Direction(x3,y3, a,L, co); x4=Directionx; y4=Directiony
# Tracciati tre lati, trovo l'ultimo vertice intersecando i due
# cerchi di raggio L centrati sul 1^ e il 4^ vertice
Q=circle_circle(x1,y1,L, x4,y4,L); Q
# 3.0299814 5.5693736 5.8001456 -0.3995007
x5=Q[1]; y5=Q[2]
segm(x5,y5, x4,y4, co); segm(x5,y5, x1,y1, co)
# ho tracciato il contorno; ora, volendo, coloro il poligono
polyC(c(x1,x2,x3,x4,x5),c(y1,y2,y3,y4,y5),"yellow")
#
# Altre due figure:
PLANE(0,10, 0,10)
L=5; x1=1; y1=1
a=90; Direction(x1,y1, a,L, co); x2=Directionx; y2=Directiony
a=20; Direction(x2,y2, a,L, co); x3=Directionx; y3=Directiony
a=-50; Direction(x3,y3, a,L, co); x4=Directionx; y4=Directiony
Q=circle_circle(x1,y1,L, x4,y4,L); Q
# 4.03369344 4.97450678 5.87870771 -0.09462827
x5=Q[1]; y5=Q[2]
segm(x5,y5, x4,y4, co); segm(x5,y5, x1,y1, co)
#
polyC(c(x1,x2,x3,x4,x5),c(y1,y2,y3,y4,y5),"yellow")
#
PLANE(0,10, 0,10)
L=5; x1=1; y1=1
a=90; Direction(x1,y1, a,L, co); x2=Directionx; y2=Directiony
a=45; Direction(x2,y2, a,L, co); x3=Directionx; y3=Directiony
a=-45; Direction(x3,y3, a,L, co); x4=Directionx; y4=Directiony
Q=circle_circle(x1,y1,L, x4,y4,L); Q
# 3.092158 5.541241 5.978910 1.458759
x5=Q[1]; y5=Q[2]
segm(x5,y5, x4,y4, co); segm(x5,y5, x1,y1, co)
#
polyC(c(x1,x2,x3,x4,x5),c(y1,y2,y3,y4,y5),"yellow")
#
coldash="blue"; circl(x1,y1,L,0); circl(x4,y4,L,0)
Point(x1,y1,"red"); Point(x4,y4,"red")
