Aprite con Cinderella questo file: clicca.  Muovete i punti O e P. State osservando un cerchio di centro O e raggio OP, prolungato di un segmento PQ lungo quanto il raggio. Da Q è stata tracciata la tangente al cerchio. Il punto di tangenza è A. Come appaiono i lati del triangolo APO? Scrivete questa vostra osservazione e provate a "dimostrarla".   
   È facile convincersi che AP = PO = OA, ossia che il triangolo è equilatero.  Come posso dimostrarlo?
• Prima cosa: il triangolo APO ha sicuramente i lati OP ed OA eguali, essendo raggi del cerchio.  Quindi anche gli angoli OAP e APO sono eguali. Basta che dimostriamo che l'angolo POA è eguale da essi: se tutti e tre gli angoli sono eguali posso concludere che sono eguali anche i lati.
• Essendo la retta QA tangente al cerchio, OA è perpendicolare ad essa. Quindi il triangolo AQO è rettangolo.
• Inoltre OP = PQ, quindi OA, che è eguale ad OP, è la metà di OQ.  Posso quindi (vedi la figura a sinistra) ribaltare il triangolo attorno ad AQ ottenendo un triangolo BQO dai lati eguali e, quindi, dagli angoli eguali.
• Il triangolo BQO ha la stessa forma (e dimensioni doppie) del trangolo APO, quindi anche i tre angoli di APO sono tra loro eguali.