Prendiamo una griglia di 4 quadretti per 4 e togliamo quelli posti in due angoli opposti.  Otteniamo la figura rappresentata a fianco.  Ci domandiamo se sia possibile coprire esattamente la figura con delle tessere del domino ciascuna delle quali copra esattamente due quadretti.  Nel caso raffigurato, messe le tessere 1, 2, 3, 4, 5 nel modo illustrato, si vede si vede che non si può procedere in modo da coprire tutta la figura.  È possibile farlo in altri casi?  Perché?

Messa una tessera in 1, per coprire il quadretto sottostante devo sicuramente metterne una in 2.  Poi, per coprire il quadretto della figura che sta sotto, devo mettere una tessera in 3.  Ma per coprire il quadretto immediatamente a sinistra di 3 devo mettere una tessera in 4.  A questo punto, per coprire in quadretto che sta tra 4 e 25.  Mi sono ritrovato esattamente nel caso illustrato nel testo dell'esercizio!

Nel caso la tessera inziale fosse stata posta orizzontalmente avrei proceduto in modo simile, arrivando ad una situazione come quella illustrata a sinistra.  Se si guarda bene, si capisce che è la stessa situazione considerata prima, ribaltata rispetto alla linea disegnata in verde a destra. Abbiamo esaminato tutti i casi. Abbiamo la certezza che la risposta alla domanda posta nell'esercizio è NO.

Nota (per l'insegnante).  Questa è una semplice, ma rigorosa, dimostrazione, affrontabile facilmente dagli alunni.
Se vuole l'insegnante di scuola media (o di scuola superiore) può porre la domanda se la cosa si estenda a griglie quadrate di più quadretti. Si possono far lavorare gli alunni liberamente.  Poi si può suggerire di ragionare come se la quadrettatura fosse una scacchiera, con quadretti colorati come nel modo sotto illustrato.
A questo punto, eventualmente con l'aiuto dell'insegnante, si può arrivare alla risposta:
• se i quadretti sono in numero dispari per lato, tolgliendone due, come nel caso sotto a sinistra, ottengo un reticolato con in tutto un numero dispari di quadretti (5*5-2 = 23 quadretti) che non possono essere coperti con tessere del domino, che copriranno comunque un numero pari di quadretti;
• se i quadretti sono i numero pari per lato, i due quadretti agli estremi opposti (in alto a destra e in basso a sinistra nel disegno sotto a destra) devono essere dello stesso colore (scuro nel disegno); i quadretti mancanti, negli altri due estremi opposti, corrisponderebbero a quadretti dell'altro colore;  quindi nel riquadro (in questo caso di 6*6-2 = 34 quadretti) vi sono 2 quadretti in più di un colore (18 scuri e 16 chiari);  con le tessere del domino posso invece coprire solo quantità eguali di quadretti chiari e quadretti scuri:  ogni tessera copre un quadretto chiaro ed uno scuro!
Questo, ovviamente, è un altro esempio di dimostrazione.