Se taglio (nel modo indicato nella prima figura fianco) un quadrato e ridispongo i quattro triangoli ottenuti come nella figura al centro, mi convinco che i due quadrati di lati a e b occupano in tutto un'estesione equivalente a quella occupata dal quadrato di lato c.  Il lato c non è altro che l'ipotenusa (cioè il lato opposto all'angolo retto) di un triangolo rettangolo avente come cateti (gli altri due lati) a e b.  Questa osservazione è alla base del cosidetto teorema di Pitagora, riportato nel quadrato grosso della figura a destra.  Se ad esempio (supponendo che le misure siano espresse in centimetri) a e b fossero lunghi 4 e 3, potrei dedurre che c² = 4²+3² = 16+9 = 25², ovvero che c = 5.    
   Ma il teorema di Pitagora sulla superficie terrestre vale in modo solo approssimato.  Se considero un triangolo con due lati che si incontrano perpendicolarmente su un grande pianura o su un grande lago, posso verificare che tale eguaglianza non è verificata esattamente.  Perché?  Prova a ragionare traendo spunto dalla figura qui a sinistra.

Le pianure o le superfici dei laghi sono dei piani nel senso che tutti i loro punti sono (circa) alla stessa altitudine.  Ma in realtÓ si tratta di parti di una superficie sferica.  Nel caso raffigurato sopra a sinistra abbiamo che non solo l'angolo tra b e a ma anche quello tra c e b sono di 90°.  La somma dei tre angoli del triangolo di lati a, b e c è maggiore di 180°.  Solo per piccole porzioni di superfici che a noi appiaono piatte possiamo ritenere che valga il teorema di Piatgora, così come il fatto che la somma degli angoli di un triangolo sia 180°.

Approfondimento.  Ma, allora, quando è che una superficie è effettivamente piatta?  Per quanto detto non possiamo verificarlo con dei semplici esperimenti.  Possiamo, viceversa, dire che una superficie è piana quando su di essa vale il teorema di Piatgora.  In altre parole il teorema di Pitagora non possiamo dimostrarlo a partire dalla nostra idea intuitiva di piano, ma possiamo usarlo per verificare quando una superificie è una porzione di piano. Potrai precisare meglio queste considerazioni quando andrai avanti negli studi.  Per ora ci limitiamo a osservare che tale teorema vale in modo via via più preciso quanto più piccola è la porzione di superficie terrestre piatta che consideriamo. Possiamo ritenerlo quasi esatto per l'estensione di una città come Genova, possiamo ritenerlo molto approssimativo per una regione grande come la Lombardia.  Per approfondimenti vedi.