Come posso spezzare in due parti un bastoncino lungo 10 cm in modo che il prodotto delle loro lunghezze sia massimo?  Ovvero, qual è il rettangolo di area massima che abbia due lati le cui lunghezze abbiano somma di 10 cm?  Provate a rispondere osservando le due figure. Poi giustificate questa risposta.

È un quesito (affontabile alla fine della scuola secondaria di 1° grado o all'inizio di quella di 2°) da proporre all'intera classe o a gruppi di lavoro.  Occorre osservare che la figura sopra a destra rappresenta la relazione tra i due lati del rettangolo, e il rettangolo stesso.  Occorre capire che quella a sinistra rapprresenta come via via varia il valore dell'area del rettangolo.  Si intuisce e si capisce, con ragionamenti che lì per lì non è facile esprimere a parole, che l'area è massima quando i due lati sono di uguale lunghezza (5 cm). Per mettere meglio a fuoco ed esprimere il ragionamento si può procedere almeno in due modi (che possono essere messi a fuoco con l'aiuto dell'insegnante). Il primo modo può far riferimento alla situazione illustrata qui a sinistra: il rettangolo non quadrato ha un rettangolino 4×1 in più e un rettangolino 1×5 in meno del quadrato, quindi ha area più piccola. Il ragionamento può essere riprodotto in modo del tutto analogo nel caso di ogni altro rettangolo tra quelli considerati nel quesito.

Il secondo modo può far riferimento al grafico (blu) che rappresenta coma al variare delle dimensioni (D) di una delle due parti spezzate varia l'area (A) del rettangolo.  Dopo aver osservato che esso sembra raggiungere il punto più alto quando D è a metà strada tra 0 e 10, si può verificare la cosa tracciando il grafico con l'aiuto del computer della funzione che esprime A in funzione di D:  A = D·(10−D), e si può verificare, graficamente e con un eventuale comando (vedi sotto) che il massimo lo si ha quando D=5.  Nella scuola secondaria di 2° grado possiamo poi, eventualmente, procedere così:  A = D·(10−D) = −D²+10·D. È una funzione polinomiale di 2º grado che ha per grafico una parabola. Posso trasfromare la funzione nella forma A = −(D−h)²+k = −D²+2·D·h+h²+k. Deve essere 2·h = 10, da cui h = 5.  È una parabola il cui vertice ha ascissa 5.

# Come procedere con R (vedi):
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source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A = function(D) D*(10-D)
graphF(A, 0,10, "blue")
maxmin(A, 0,10)
# 5