Quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli segnati con dei pallini nelle figure qui a sinistra? Varia o è sempre la stessa? Prova a studiare il fenomento con il seguente file per Cinderella, mediante il quale puoi studiare la figura comunque sia disposta (a destra una delle possibili forme che puoi ottenere). Prova poi a dimostrare quanto hai supposto con queste prove. |
Nel caso della figura sopra a destra si ottiene facilmente che la somma degli angoli è 90+90+90+90 gradi, ossia 360°. Vediamo altri casi.
Facendo i conti si verifica che la somma vale sempre 360°, a parte problemi di arrotondamento: ad es. nel caso della figura
sopra a destra ottengo 49.2 + 55.2 + 76.4 + 52.7 + 43.6 + 83 = 360.1 (49.2 poteva essere in realtà 49.193
e così
altre misure arrotondate avrebbero potuto essere più grandi delle misure esatte dando luogo ad una somma che potrebbe arrivare a formare 1 decimo
in più; in altre situazioni potremmo ottenere valori la cui somma si discosta da 360 per 1 o 2 decimi in più o in meno).
Proviamo a dimostrarlo, ossia a convincersene con un
ragionamento che vale non solo nei singoli casi.
Nel caso di figure disposte come quella sopra a destra posso ragionare così:
faccio la somma degli angoli di tre triangoli "esterni" (180°·3) e tolgo la somma degli angoli del triangolo in mezzo: ottengo 180°·2
= 360°.
Nel caso di figure disposte come quella a sinistra osservo che gli angoli non segnati dei tre triangoli coinvolti
sono uguali (in quanto opposti al vertice) agli angoli del triangolo al centro della figura, e quindi hanno somma 180°.
Del resto i tre triangoli coinvolti hanno angoli che in tutto
valgono 180°·3.
Quindi la somma delle ampiezze degli angoli segnati è pari
a 180°·3−180° = 180°·2 = 360°.