Nella figura qui a destra ACDF è un quadrato, B ed E sono i punti medi di AC e di CF.  So che BF è lungo 12 cm.  Trova l'area del poligono BCEF, colorato di grigio.

Il poligono BCEF ha la stessa area del rettangolo avente EF e BE come lati, come si vede nella figura a fianco.  Ma potevo anche ricordare direttamente che un parallelogramma ha la stessa area di un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza (pensa a ruotare la figura mettendo FD come base): Quindi basta trovare l'area di questo, di cui conosco la lunghezza della diagonale, 12 cm e di cui so che un lato è di lunghezza doppia dell'altro.  Volendo posso anche dire che il poligono BCEF ha la stessa area del triangolo equilatero BDF.

Dunque l'area è uguale al prodotto di EF per BE. Chiamiamo L la lunghezza di EF in cm. Allora BE è lungo 2·L cm. L'area cercata sarà dunque 2·L² cm². Per il teorema di Pitagora (applicato al triangolo EFB) 12² = L²+ (2·L)², ovvero 144 = 5·L², ovvero L² = 144/5.  L'area cercata è dunque 2·L² = 2·144/5 = 57.6 (cm²).

# Come sono state fatte le figure precedenti?
# Sono stata realizzate con R (vedi). Ecco come:
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.3; HF=2.3
PLANEww(-1,11,-1,11)
polyC(c(0,10,10,0),c(0,5,10,5),"grey")
polyline(c(0,10,10,0,0),c(0,0,10,10,0),"brown")
polyline(c(0,10,10,0,0),c(0,5,10,5,0), "brown")
segm(10,5, 0,0, "brown")
text(-0.7,10.5,"A")
text(-0.7,5,"B")
text(-0.7,-0.5,"C")
text(10.8,-0.5,"D")
text(10.8,5,"E")
text(10.8,10.5,"F")
#
PLANEww(-1,11,-1,11)
polyC(c(0,10,10,0),c(5,5,10,10),"grey")
polyline(c(0,10,10,0,0),c(0,0,10,10,0),"brown")
segm(0,5, 10,10, "black")
segm(0,5,  10,0, "brown")
segm(0,5,  10,5, "brown")

La figura con WolframAlpha:
polygon(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0), polygon(0,0),(1,1/2),(1,1),(0,1/2),(0,0), polygon(2,2),(2,2)

[ polygon(2,2),(2,2) serve per ingrandire la pagina e quindi rimpicciolire la figura ]