Sappiamo che l'area di un triangolo è indivuata dai sui tre lati, mentre la cosa non vale per i quadrangoli (ad es. un quadrangolo con i lati uguali ha area massima se è un quadrato, ma, schiacciandolo, la sua area diminuisce, fino a diventare zero).  Per l'area dei triangoli a partire dai lati si una una formula, nota come formula di Erone, nota da almeno 2000 anni, che può essere espressa così: l'area è uguale alla radice quadrata di Q divisa per 4 dove Q è il prodotto tra il perimetro e i tre valori che si ottengono sottraendo un lato dalla somma degli altri due.  Essa è una delle formule matematiche più usate nelle applicazioni pratiche della geometria.  Prova ad usarla per misurare l'estensione del campo attraversato da una strada disegnato a fianco (le misure di lunghezza sono espresse in metri e approssimate al decimetro data la difficoltà che si sono incontrate ad ottenere misure più precise).    

Facciamo prima una stima grossolana. Confrontarla col risultato finale ci sarà utile per controllare se avessimo commesso degli errori di calcolo o nell'uso delle formule. Il campo è circa un rettangolo con lati di 60 m e 65 m, quindi ha area pari a circa 60·65 m², 3900 m². Esprimendoci in are (un'ara corrisponde a 100 m², ossia ad un quadrato di lato 10 m: l'ordine di grandezza è quello di un'aia), possiamo dire che è di circa 39 are.
Facendo i calcoli:
a=53.9; b=64.4; c=40.1; s1=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a)); s1/4
# 1076.817
...
(s1+s2+s3+s4)/4
# 3886.046
Ovvero, usando questo script (e poi questo):

Essendo i dati arrotondati non ha senso prendere tutte le cifre. Arrotondiamo a 3890 m², ovvero 38.9 are. Questo risultato è in accordo con la stima fatta inizialmente.

Per la formula di Erone vedi qui.