Le lunghezze dei lati di un triangolo sono 6, 8 e 10.  Trovate una retta che tagli il triangolo dividendolo in due parti di area uguale e che lo attraversi in due punti che ne dividano il contorno in due parti di uguale lunghezza.

Non è un quesito banale. Aver fatto la domanda al plurale ("trovate …") lascia intendere che il quesito è da proporre a gruppi o all'intera classe. Dopo molti tentativi e forme di ragionamento che possono essere molto varie si può arrivare alla soluzione. Ecco uno dei modi possibili. Se la retta taglia il triangolo nel modo illustrato a sinistra, occorre che x+y = (6+8+10)/2 = 12.  Imponiamo che il triangolo rosa abbia area pari a metà del triangolo grosso, che è rettangolo, ossia pari a 6·8/2/2 = 12.  L'area del triangolo rosa ha altezza h pari a x/10·8. Dunque:

x+y = 12 AND y·h/2 = 12
x+y = 12 AND y·x/10·8/2 = 12
x+y = 12 AND y·x/10 = 3
x+y = 12 AND y·x = 30
x+y = 12 AND x+30/x = 12
x+y = 12 AND x²−12·x+30 = 0
x+y = 12 AND x = 6 ± √6
x è dunque  6−√6  mentre y è  6+√6.

Come raffigurare il problema col software online WolframAlpha. Con    triangle 8, 6, 10    ottengo la figura a destra con: perimetro=24, area=24  e ampiezze degli angoli: 0.927295 rad, 0.643501, 1.5708 rad.     Con: solve {x+y=12, y*x/10*8/2=12}     ottengo: x = 6 - sqrt(6), y = 6 + sqrt(6) Utilizzando i valori di x e di y sopra trovati costruisco la figura successiva con i comandi seguenti:

polygon(0,0),(10,0),(6*cos(0.927),6*sin(0.927)); line segment(6+sqrt(6),0),((6-sqrt(6))*cos(0.927),(6-sqrt(6))*sin(0.927))