Un triangolo ha un lato lungo 4 e un altro lungo 8. Anche il terzo lato ha lunghezza intera. Quali valori potrebbe avere questa lunghezza?

Il terzo lato deve essere minore della somma degli altri due e deve essere maggiore della loro differenza.

La lunghezza del terzo lato deve quindi essere compresa strettamente tra 4 e 12. Le sue possibili misure intere sono quindi 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Possiamo controllare col software online WolframAlpha (vedi):

triangle 4, 8, 12     triangle 4, 8, 11     triangle 4, 8, 5     triangle 4, 8, 4

 

 
Un altro approccio.

Siano AB e AC i lati lunghi 4 e 8. Disegno due cerchi di centro A e raggi AB lungo 4 e AC lungo 8.
Fissato il segmento AB, al variare di C sul cerchio ho tutti i triangoli possibili.
Devo trovare i valori interi che puņ assumere BC.
Sotto con (1) è indicato il caso in cui il triangolo ha area massima (quando l'altezza rispetto alla base AB è massima), ma a noi interessa quali valori puņ assumere BC.
Man mano che C (pallino rosso) si allontana da questa posizione e la direzione di AC si avvicina (2) a quella di AB o (3) alla direzione opposta, il lato BC degenera in un segmento lungo 4 (la differenza dei due raggi) o lungo 12 (la somma dei due raggi).
La lunghezza di BC deve quindi essere compresa strettamente tra 4 e 12. Le sue possibili misure intere sono quindi 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Se ti interessa, ecco come č stata fatta la figura precedente con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=4
PIANO(-8,8, -8,8)
cerch(0,0, 8, "blue"); cerch(0,0,4,"blue")
Direzio(0,0, -45-90, 4, "brown"); Direzio(0,0, 45+90, 8, "brown") 
scrivi(-4,4,"8"); scrivi(-1.5,-1.5,"4")
PUNTO(0,0,"blue"); PUNTO(0,4, "blue")
linea(0,0, 0,4, "blue")
scrivi(-1,0,"A"); scrivi(-1,4.5,"B")
spezzaC(c(0,8,0,0),c(0,0,4,0),"yellow"); PUNTO(8,0,"red")
scrivi(7,-1,"(1)")
Direzio(0,0, 80,8, "blue"); x1=Direzionex; y1=Direzioney
spezzaC(c(0,x1,0,0),c(0,y1,4,0),"green"); PUNTO(x1,y1,"red")
scrivi(2.5,6.5,"(2)")
Direzio(0,0, -75,8, "blue"); x2=Direzionex; y2=Direzioney
spezzaC(c(0,x2,0,0),c(0,y2,4,0),"orange"); PUNTO(x2,y2,"red")
scrivi(3,-6.5,"(3)")
spezza(c(0,x1,0,0),c(0,y1,4,0),"black")
PUNTO(x1,y1,"red"); PUNTO(0,0,"blue"); PUNTO(0,4, "blue")