Il triangolo LMN ha LM, MN e NL lunghi, rispettivamente, 6, 10 e 9 centimetri, con errori di misura trascurabili. K è il punto del lato MN tale che la semiretta LK è la bisettrice dell'angolo di vertice L. Trova (con qualche manipolazione, con la carta millimetrata o con del software) la lunghezza del segmento MK. |
Con la carta millimetrata (e riga e compasso) posso costruire il triangolo, tracciato MN, individuando L come intersezione dei due cerchi di centro M e raggio 6 e di cenntro N e raggio 9. Per trovare la bisettrice dell'angolo con vertice L posso, col compasso, trovare C1 e C2 equidistanti da L e ,tracciati cerchi di centri C1 e C2 di egual raggio, individuare i loro punti di intersezione. La bisettrice è la retta che passa per questi due punti. La sua intersezione, K, col lato MN dista 4 (e qualche eventuale centesimo) da M. Questo è un modo per risolvere il problema graficamente.
Algebricamente potrei tradurre la costruzione precedente nella risoluzione di equazioni e sistemi, arrivando ad individuare in 4 (valore esatto, se tali fossero anche le lunghezze dei lati del triangolo) la lunghezza di MK.
Col software il procedimento dipende dagli strumenti che esso mette a disposizione. Vediamo come farlo, in modo molto semplice, con questi script usabili online (vedi qui): trovo gli angoli del triangolo, calcolo la bisettrice di NLM (posso fare la divisione per 2 anche usando la calcolatrice online recuperabile con lo stesso link precedente), e, quindi, il lato MK:
La figura col software online WolframAlpha (per trovare le ampiezze degli angoli e poi per tracciare la figura):
10, 6, 9 triangle
1.41273 rad | 0.634184 rad | 1.09468 rad
polygon(10-9*cos(0.6342)+1,9*sin(0.6342)+1),(1,1),(10+1,0+1),(10-9*cos(0.6342)+1,9*sin(0.6342)+1),(4+1,0+1), polygon(0,0),(0,0)
Si può anche usare R (con la libreria accessibile da qui), tracciando anche la figura presente nel quesito. Sotto vedremo come, con R, sia stata realizzata anche la figura su carta millimetrata.
BF=3; HF=2.5; PLANE(-1,11,-1,8) # con PLANEww non traccio assi e griglia triSSS(10,9,6) # triangolo di lati 10,9,6 SIDES # 10 9 6 ANGLES # 80.94356 62.72039 36.33606 L=ANGLES[1]; M=ANGLES[2]; N=ANGLES[3] M1=0;M2=0;N1=10;N2=0;L1=0+xrot(M)*6;L2=0+yrot(M)*6 polyline(c(M1,N1,L1,M1),c(M2,N2,L2,M2),"brown") # poligonale MNLM text(2.8,6,"L"); text(-1/2,-1/2,"M"); text(10.5,-1/2,"N") IC = incentre(c(M1,N1,L1),c(M2,N2,L2)) # l'incentro del triangolo # l'intersezione della bisettrice col lato di base line_line(L1,L2,IC[1],IC[2], N1,N2,M1,M2) # 4 0 K1 = solut[1]; K2 = solut[2]; line(K1,K2, L1,L2, "brown") text(4,-0.65,"K"); POINT(2.5,3.5,"blue"); POINT(4,3.6,"blue") mmpaper(100,60) segm(0,0, 100,0, "seagreen") arc(0,0,60, 25,80, "blue"); arc(100,0,90, 120, 170, "blue") P = circle_circle(0,0,60, 100,0,90); P segm(0,0, P[1],P[2], "seagreen"); segm(100,0, P[1],P[2], "seagreen") arc(P[1],P[2], 40, 220, 340, "red") dirArrow(P[1],P[2], 0,0); dirArrow(P[1],P[2],100,0) # dir. = 242.7204 ^ leng. = 60 # dir. = 323.6639 ^ leng. = 90 P[1]+xrot(dirArrow1(P[1],P[2], 0,0))*40 # 9.166667 QS=c(P[1]+xrot(dirArrow1(P[1],P[2], 0,0))*40,P[2]+yrot(dirArrow1(P[1],P[2], 0,0))*40) QD=c(P[1]+xrot(dirArrow1(P[1],P[2], 100,0))*40,P[2]+yrot(dirArrow1(P[1],P[2], 100,0))*40) Point(QS[1],QS[2],"red"); Point(QD[1],QD[2],"red") arc(QS[1],QS[2],35, -32,80, "red"); arc(QD[1],QD[2],35, 120,270, "red") V = circle_circle(QS[1],QS[2],35, QD[1],QD[2],35); V line_line(V[1],V[2],V[3],V[4], 0,0,100,0) Z = c(solut[1],solut[2]) line(Z[1],Z[2], P[1],P[2], "seagreen") Point(Z[1],Z[2],"black")