Nel disegno a fianco è riprodotta, in scala ridotta, una quadrettatura con lati di 1 cm. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? [motiva le risposte] 1) L'area del poligono ABCD è il doppio di quella del poligono ADE. 2) Il perimetro di ABCD è 2·√50 cm. 3) Il perimetro di ADE è 5+3·√5 cm.

1)  Il poligono ADE è un triangolo di area 5·2/2 = 5 cm².  ABCD è scomponibile in due triangoli eguali, ABC e ACD. L'area di ciascuno di essi, prendendo AB come base e la distanza di C da AD come altezza, è √(4²+2²)·√(2²+1²)/2 = √(20·5)/2 = √100/2 = 5 (cm²).  Posso arrivare a questa conclusione pensando a ABC come metà di un quadrato di lato AB, ossia come √(1+9)²/2 = 5 (cm²).  Quindi la risposta è SI'. 2)  2·(√(4²+2²)+√(3²+1²)) = 2·(√20+√10); √20+√10 ≠ √50, infatti i loro quadrati sono 20+10+2·√200 = 30+20·√2 e 50.  Quindi la risposta è NO. 3)  5+√(4+1)+√(4+16) = 5+√5+√20 = 5+√5+√5·2 = 5+√5·3.  Quindi la risposta è SI'.

Figura e calcoli col software online WolframAlpha:

polygon (5,5),(0,5),(1,3),(5,5),(4,2),(0,0),(1,3),(5,5),polygon(0,0),(0,0)
polygon (5,5),(0,5),(1,3),(0,0),(4,2)   area=15 perimetro=5+3*sqrt(5)+2*sqrt(10)≈18.0328
polygon (5,5),(1,3),(0,0),(4,2)         area=10 perimetro=2*sqrt(5)*(2+sqrt(2))≈15.2688
polygon (5,5),(0,5),(1,3)               area=5  perimetro=5+3*sqrt(5)≈11.7082

## Figura e calcoli con R (vedi qui)
## La figura:
BF=2.5; HF=2.5; PLANE(0.5,6.5,1,7.5)
polyline(c(2,1,5,6,2,1,6),c(5,2,4,7,5,7,7),"brown")
text(1/2,7.5,"E"); text(2.5,4.5,"A"); text(1/2,1.5,"B")
text(5.5,3.5,"C"); text(6.5,7.5,"D")
## 1) l'area di ABCD
areaPol(c(2,1,5,6,2),c(5,2,4,7,5))
# 10
## l'area di ADE
areaPol(c(2,6,1,2),c(5,7,7,5))
# 5
## 2) lunghezza ABCD
leng(c(2,1,5,6,2),c(5,2,4,7,5))
# 15.26883         ovvero
2*(sqrt(10)+sqrt(20))
# 15.26883
2*sqrt(50)
# 14.14214
## 3) lunghezza ADE
leng(c(2,6,1,2),c(5,7,7,5))
# 11.7082
5+3*sqrt(5)
# 11.7082