Qual è la posizione di P tale che la spezzata HPK abbia lunghezza massima? (prova a risolvere il problema discutendo con qualche compagno)
| A lato è
raffigurato un triangolo isoscele. P è un punto del lato in basso.
Da P sono tracciati due segmenti perpendicolari ai due lati eguali che
incontano questi nei punti H e K. Qual è la posizione di P tale che la spezzata HPK abbia lunghezza massima? (prova a risolvere il problema discutendo con qualche compagno) |
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La domanda, la natura dei problemi scolastici a cui potremmo essere stati abituati e
qualche ragionamento superficiale ci potrebbero indurre a pensare che la lunghezza è massima quando P
è al centro o quando è ad una delle estremità della base. Ma se pensiamo (magari anche con degli schizzi)
ad un po' di situazioni, come alle tre illustrate sotto nella figura A, ci rendiamo conto che la lunghezza di HPK
potrebbe non variare.
Vediamo diverse strategie per convincersi che le cose stanno proprio così. Una è descritta nella
figura B: traccio sullo stesso triangolo (in rosso) la spezzata corrispondenti al caso in cui K stia
sulla base (è un unico segmento) e (in viola) quella corrispondente ad un altro caso;
traccio (in verde) per il punto P di questo caso la parallela ad uno dei lati obliqui.
Vedo subito che i due triangoli rettangoli evidenziati sono eguali, o, meglio, simmetrici
(hanno l'ipotenusa, alla base, in comune e gli angoli eguali) ed hanno quindi i due cateti U e V eguali,
quindi, dato che i segmenti W e Z sono eguali in quanto lati opposti di un rettangolo, ….
Nella figura C è descritta un'altra strategia, simile alla precedente, ma forse
più intuitiva: ribalto orizzontalmente il triangolo rettangolo colorato in giallo mantenendo
l'ipotenusa. A questo punto è edivente che il segmento QR è lungo quanto la spezzata HPK.
In D è presentata una soluzione meno intuitiva, ma facile da capire:
se al triangolo aggiungo il triangolo ottenuto mediante un ribaltamento attorno alla base e se prolungo
il lato HP fino a incontrare il nuovo triangolo in K', ho immediatamente che HK', dovunque sia
collocato P sulla base del triangolo, è pari alla distanza tra i lati opposti del rombo
ottenuto, ovvero (vedi l'ultima figura) alla distanza di Q dalla retta r.
A | B |
C | ||||
D  |
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In E una animazione, che ci fa venire in mente un altro ragionamento, più semplice, illustrato meglio nelle figure seguenti: i due triangolini rettangoli T1 e T2 sono simili tra loro, e sono simili al triangolo giallo; se T1 ha l'ipotenusa che è il 70% di quella del triangolo giallo, anche il suo cateto maggiore è il 70% del cateto maggiore del triangolo giallo, e il suo cateto minore è il 30% di esso; in definitiva, la somma dei due cateti è eguale al cateto maggiore del triangolo giallo, e questo vale per ogni coppia di T1 e T2! Questo è anche il modo più "intuitivo", se la nostra intuizione è stata coltivata dalla scuola con attività sulle similitudini, i fattori di scala, …
