Il naturalista D'Arcy W. Thompson (vedi) ha studiato i modi in cui sono evolute le forme di piante e animali. Tra l'altro ha studiato come sono descrivibili matematicamente le relazioni tra le forme di alcuni animali che hanno un'origine comune. Ad es., nel caso dei pesci, la forma di A può essere trasformata in quella di B o in quella di D, o la forma di B è trasformabile in quella di C.  Come posso caratterizzare matematicamente le tipologie a cui appartengono queste tre trasformazioni?

La trasformazione da A a B è una contrazione: assumendo che l'asse y passi per il primo segmento verticale e l'asse x passi per il segmento orizzontale al centro, la trasformazione è describile con y' = y, x' = x·k, con k < 1.
La trasformazione da B a C è un inclinamento (o deformazione lineare o shearing) lungo la direzione dell'asse y: è describile con x' = x+y·k, y' = y.
La trasformazione da A a D è una trasformazione continua che conserva i punti angolosi (i "punti", non le ampiezze degli angoli). Ovviamente anche le altre due trasformazioni rientrano in questa categoria. È evidente che questa trasformazione ha anche altre caratteristiche (in particolare le rette parallele agli assi vengono trasformate con una certa regolarità in curve opportune).

Per altri commenti: Trasformazioni geometriche neGli Oggetti Matematici.

Per chi è interessato, ecco come sono state costruite le figure precedenti con R; qui o qui come ottenere, pił semplicemente, le figure seguenti: