Le coordinate polari permettono di descrivere facilmente varie curve che non sono descrivibili esprimendo l'ordinata (y) in funzione dell'ascissa (x). Ad es. le seguenti quattro equazioni, che esprimono ρ in funzione di θ espresso in radianti, ρ = 2, ρ = θ, ρ = θ2, ρ = √θ corrispondono ciascuna a una delle quattro curve rappresentate parzialmente a lato, in scale diverse (curve che, come A, C e D, si avvolgono infinite volte attorno ad un punto vengono chiamate spirali). Per ciascuna equazione trova i valori di ρ corrispondenti a diversi valori di θ (quelli che in gradi valgono 0, 45, 90, 180, 270, 360, 450, 540, ), confronta quanto ottieni con le curve a fianco e associa a ciascuna di queste la relativa equazione. [se vuoi, controlla le soluzioni con del software: R, WolframAlpha, ] |
ρ = 2 rappresenta un cerchio di raggio 2, quindi ha per grafico B.
ρ = θ è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta proporzionalmente all'aumento di θ; questo mi fa capire che si tratta di D.
ρ = θ2 è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta più velocemente di quanto aumenti θ: si tratta di A.
ρ = √θ è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta più lentamente di quanto aumenti θ: si tratta di C.
Un po' di nomi: ρ = θ, e in generale ρ = k·θ con k > 0 (figura D), viene chiamata spirale di Archimede.
Invece la spirale rappresentata qui sotto, di equazione
Hanno questa forma, ad esempio, la conchiglia del nautilo e il volo del falco pellegrino quando si avventa su una preda.
Per altre spirali digita "spiral plane curves" in WolframAlpha.
Per le coordinate polari: Lo spazio, Rette tangenti e curve (e I numeri complessi) neGli Oggetti Matematici.
Sotto come posso controllare quanto ottenuto con R:
# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") HF=2; BF=2 R=function(teta) 2 PLANE(-2.5,2.5, -2.5,2.5); polar(R, 0,2*pi,"black") R1=function(teta) teta PLANE(-25,25, -25,25); polar(R1, 0,12*pi,"black") R2=function(teta) teta^2 PLANE(-800,800, -800,800); polar(R2, 0,12*pi,"black") R3=function(teta) sqrt(teta) PLANE(-4,4, -4,4); polar(R3, 0,12*pi,"black") R4=function(teta) 5*2^(teta/4) PLANE(-125,125, -125,125); pola(R4, 0,6*pi,"black") Point(5,0,"red") # la figura a destra ... (per usare polar_incl occorre indicare l'angolo con "ang") R4=function(ang) 5*2^(ang/4) PLANE(-125,125, -125,125); pola(R4, 0,6*pi,"black") Point(5,0,"red") ang=2*pi+pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang) d; Point(x,y,"brown"); point_incl(x,y, d, "brown") # -39.83098 ang=2*pi+2*pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang) d; Point(x,y,"blue"); point_incl(x,y, d, "blue") # 20.16902 ang=2*pi+pi; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang) d; Point(x,y,"seagreen"); point_incl(x,y, d, "seagreen") # 80.16902 ang=3*pi+pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang) d; Point(x,y,"brown"); point_incl(x,y, d, "brown") # -39.83098
Puoi tracciare le curve anche con WolframAlpha:
polar rho = 2
polar rho = theta
polar rho = theta^2
polar rho = sqrt(theta)
polar rho = 5*2^(theta/4)