Le coordinate polari permettono di descrivere facilmente varie curve che non sono descrivibili esprimendo l'ordinata (y) in funzione dell'ascissa (x). Ad es. le seguenti quattro equazioni, che esprimono ρ in funzione di θ espresso in radianti,

ρ = 2,  ρ = θ,  ρ = θ2,  ρ = √θ

corrispondono ciascuna a una delle quattro curve rappresentate parzialmente a lato, in scale diverse (curve che, come A, C e D, si avvolgono infinite volte attorno ad un punto vengono chiamate spirali).

    Per ciascuna equazione trova i valori di ρ corrispondenti a diversi valori di θ (quelli che in gradi valgono 0, 45, 90, 180, 270, 360, 450, 540, …), confronta quanto ottieni con le curve a fianco e associa a ciascuna di queste la relativa equazione.

[se vuoi, controlla le soluzioni con del software: R, WolframAlpha, …]

   

ρ = 2 rappresenta un cerchio di raggio 2, quindi ha per grafico B.

ρ = θ è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta proporzionalmente all'aumento di θ; questo mi fa capire che si tratta di D.

ρ = θ2 è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta più velocemente di quanto aumenti θ: si tratta di A.

ρ = √θ è una curva i cui punti hanno distanza dall'origine che aumenta più lentamente di quanto aumenti θ: si tratta di C.

Un po' di nomi:  ρ = θ, e in generale ρ = k·θ con k > 0 (figura D), viene chiamata spirale di Archimede.
Invece la spirale rappresentata qui sotto, di equazione ρ = 5·2θ/4, e in generale ρ = k·hθ·q (k e q positivi), viene chiamata spirale logaritmica.  Come si vede nel grafico a destra, in questa curva, come nel cerchio, man mano che ruoto attorno all'origine degli assi l'inclinazione aumenta proporzionamente (dopo mezzo giro la retta tangente torna ad avere la stessa inclinazione).  Inoltre la velocità con cui ci si allontana dall'origine cresce proporzionalmente al crescere della rotazione compiuta (avendo studiato la derivazione, si può concludere ciò osservando che la derivata di una funzione esponenziale è proporzionale alla funzione stessa).  Possiamo descriverla come la traiettoria di un punto che si muove di moto uniformemente accelerato su una semiretta, la quale ruota uniformemente intorno alla sua origine. 

Hanno questa forma, ad esempio, la conchiglia del nautilo e il volo del falco pellegrino quando si avventa su una preda.

Per altre spirali digita "spiral plane curves" in WolframAlpha.

  Per le coordinate polari: Lo spazio, Rette tangenti e curve (e I numeri complessi) neGli Oggetti Matematici.

Sotto come posso controllare quanto ottenuto con R:

# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
HF=2; BF=2
R=function(teta) 2
PLANE(-2.5,2.5, -2.5,2.5); polar(R, 0,2*pi,"black")
R1=function(teta) teta
PLANE(-25,25, -25,25); polar(R1, 0,12*pi,"black")
R2=function(teta) teta^2
PLANE(-800,800, -800,800); polar(R2, 0,12*pi,"black")
R3=function(teta) sqrt(teta)
PLANE(-4,4, -4,4); polar(R3, 0,12*pi,"black")
R4=function(teta) 5*2^(teta/4)
PLANE(-125,125, -125,125); pola(R4, 0,6*pi,"black")
Point(5,0,"red")
# la figura a destra ... (per usare polar_incl occorre indicare l'angolo con "ang")
R4=function(ang) 5*2^(ang/4)
PLANE(-125,125, -125,125); pola(R4, 0,6*pi,"black")
Point(5,0,"red")
ang=2*pi+pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang)
d; Point(x,y,"brown"); point_incl(x,y, d, "brown")
# -39.83098
ang=2*pi+2*pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang)
d; Point(x,y,"blue"); point_incl(x,y, d, "blue")
# 20.16902
ang=2*pi+pi; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang)
d; Point(x,y,"seagreen"); point_incl(x,y, d, "seagreen")
# 80.16902
ang=3*pi+pi/3; x=R4(ang)*cos(ang); y=R4(ang)*sin(ang); d=polar_incl(R4,ang)
d; Point(x,y,"brown"); point_incl(x,y, d, "brown")
# -39.83098

Puoi tracciare le curve anche con WolframAlpha:
polar rho = 2
polar rho = theta
polar rho = theta^2
polar rho = sqrt(theta)
polar rho = 5*2^(theta/4)