Dispongo di un foglio circolare di diametro d. Decido di tagliarlo in modo da realizzare un aquilone, come nel disegno a fianco. Decido di operare in modo che la punta γ dell'aquilone sia di 60°. Quanto sarà estesa la superficie dell'aquilone? Quanto sarà lungo il suo contorno?

Il disegno a fianco illustra la situazione. L'aquilone è composto da due triangoli uguali che, essendo inscritti in un semicerchio, sono rettangoli. L'angolo γ, ossia la "punta" dell'aquilone, è formato dall'unione di due angoli di 30°, quindi l'angolo opposto è formato dall'unione di due angoli di 60°. Quindi l'aquilone è formato da due triangoli che, uniti opportunamente, formano un triangolo equilatero. L'area dell'aquilone è pari a d·h, dove h è l'altezza di ciascuno dei due triangoli prendendo come base il diametro, ovvero è uguale ad a·b. Il contorno è invece uguale a 2·(a+b).  Essendo a pari a d/2 abbiamo che, per il teorema di Pitagora, b = √(d2−d2/4) = d·√(3/4) = d·√3/2, e quindi il perimetro è 2·(d/2+d·√3/2) = d·(1+√3).  L'area è invece a·b = d/2·d·√3/2 = d2·√3/4.

Per altri commenti: triangoli neGli Oggetti Matematici.

Calcoli e figure con WolframAlpha (con raggio = 1, ossia d = 2):
x^2+y^2=1, y = tan(30°)*(x+1)
      x = 1/2, y = sqrt(3)/2
circle center(0,0) radius 1, polygon (-1,0), (1/2, sqrt(3)/2), (1,0), (1/2, -sqrt(3)/2)
     
polygon (-1,0), (1/2, sqrt(3)/2), (1,0), (1/2, -sqrt(3)/2)
      area = sqrt(3)
Se, invece di raggio = 1, raggio = d/2 il quadrato di area 1 diventa di area d²/4 e l'area complessiva diventa sqrt(3)·d²/4.