Abbiamo un triangolo isoscele con lunghezza della base di l m e lunghezza dei due lati uguali di 1.3 m; supponiamo che queste misure siano esatte. In esso è tracciato un cerchio tangente ai tre lati. Tangente a questo cerchio e ai due lati uguali è tracciato un altro cerchio. In modo analogo è tracciata una successione infinita di cerchi, come illustrato nella figura a lato. Quanto vale la somma delle circonferenze di tutti i cerchi?

Dobbiamo ragionare con calma, senza instradarci in ragionamenti complessi. Sappiamo che le lunghezze dei cerchi sono proporzionali a quelle dei diametri: una circonferenza è pari al diametro per π. La somma dei diametri di tutti i cerchi è uguale alla altezza H del triangolo relativa al lato lungo 1 m. Quindi la somma delle circonferenze sarà H·π. H = √(1.3²−0.5²) m = √1.44 m = 1.2 m. Quindi la somma cercata vale 1.2·π m = 3.76991… m.

 
Se sei interessato, ecco come stata realizzata la figura con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=4
PLANEww(-0.55,0.55,0,1.2)      # Usa PLANE(...) se vuoi vedere la griglia
h=sqrt(1.3^2-0.5^2); polyC(c(-0.5,0.5,0),c(0,0,h),"grey90")
A = angle(c(0.5,0),c(-0.5,0),c(0,h))
k=tan(A/2*pi/180)*1/2; Point(0,k, "red")
circleC(0,k, k, "yellow"); circl(0,k, k, "black")
rap=(h-2*k)/h
k1=tan(A/2*pi/180)*1/2*rap; Point(0,2*k+k1, "red")
circleC(0,2*k+k1, k1, "yellow"); circl(0,2*k+k1, k1, "black")
rap=(h-2*k-2*k1)/h
k2=tan(A/2*pi/180)*1/2*rap; Point(0,2*k+2*k1+k2, "red")
circleC(0,2*k+2*k1+k2, k2, "yellow"); circl(0,2*k+2*k1+k2, k2, "black")

Uno dei modi in cui può essere realizzata con WolframAlpha:
sqrt(1.3^2-1/2^2))       ottengo quant'è alto il triangolo
      1.2
Traccio il cerchio inscritto; il software me ne dà centro e raggio; verifico tracciando triangolo e cerchio; traccio i due triangoli:
incircle triangle (-0.5,0),(0.5,0), (0,1.2)
      center (0, 0.333333)   radius 0.333333
triangle (-0.5,0),(0.5,0), (0,1.2), circle center(0,1/3) radius 1/3
triangle (-0.5,0),(0.5,0), (0,1.2), triangle (-0.5*(1.2-2/3)/1.2,2/3),(0.5*(1.2-2/3)/1.2,2/3),(0,1.2)

Trovo l''equazione del cerchio inscritto nel triangolo superiore:
incircle triangle (-0.5*(1.2-2/3)/1.2,2/3),(0.5*(1.2-2/3)/1.2,2/3),(0,1.2)
      (x + 0)^2 + (y - 0.814815)^2 = 0.0219479
Traccio il nuovo cerchietto
triangle (-0.5,0),(0.5,0), (0,1.2), circle center(0,0.814815) radius sqrt(0.0219479)
e sovrappongo le immagini con i due cerchi