Abbiamo un triangolo isoscele con lunghezza della base di l m e lunghezza dei due lati uguali di 1.3 m; supponiamo che queste misure siano esatte. In esso è tracciato un cerchio tangente ai tre lati. Tangente a questo cerchio e ai due lati uguali è tracciato un altro cerchio. In modo analogo è tracciata una successione infinita di cerchi, come illustrato nella figura a lato. Quanto vale la somma delle circonferenze di tutti i cerchi?

Dobbiamo ragionare con calma, senza instradarci in ragionamenti complessi. Sappiamo che le lunghezze dei cerchi sono proporzionali a quelle dei diametri: una circonferenza è pari al diametro per π. La somma dei diametri di tutti i cerchi è uguale alla altezza H del triangolo relativa al lato lungo 1 m. Quindi la somma delle circonferenze sarà H·π. H = √(1.3²−0.5²) m = √1.44 m = 1.2 m. Quindi la somma cercata vale 1.2·π m = 3.76991… m.

 
Se sei interessato, ecco come stata realizzata la figura con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=4
PLANEww(-0.55,0.55,0,1.2)      # Usa PLANE(...) se vuoi vedere la griglia
h=sqrt(1.3^2-0.5^2); polyC(c(-0.5,0.5,0),c(0,0,h),"grey90")
A = angle(c(0.5,0),c(-0.5,0),c(0,h))
k=tan(A/2*pi/180)*1/2; Point(0,k, "red")
circleC(0,k, k, "yellow"); circl(0,k, k, "black")
rap=(h-2*k)/h
k1=tan(A/2*pi/180)*1/2*rap; Point(0,2*k+k1, "red")
circleC(0,2*k+k1, k1, "yellow"); circl(0,2*k+k1, k1, "black")
rap=(h-2*k-2*k1)/h
k2=tan(A/2*pi/180)*1/2*rap; Point(0,2*k+2*k1+k2, "red")
circleC(0,2*k+2*k1+k2, k2, "yellow"); circl(0,2*k+2*k1+k2, k2, "black")