A fianco è rappresentato un metodo (riportato da Archimede) per costruire, dato un angolo (AOB), un angolo (ADB) pari ad un terzo di esso. Cerca di spiegare come si procede e ad argomentare la validità del procedimento.

Costruiscoun cerchio con origine nel vertice dell'angolo, chiamo A e B l'intersezione del primo lato e del secondo lato col cerchio. Traccio un segmento BD con D che stia sulla retta OA e che intersechi il cerchio in un punto C tale che DC sia uguale al raggio del cerchio.

∠ODC è pari ad un terzo di ∠AOB. Infatti:
∠AOB è pari a 180°−∠BOD e 180°−∠BOD = ∠ODC+∠CBO in quanto ∠ODC+∠CBO+∠BOD = 180°;
∠CBO = ∠OCB (in quanto BCO è isoscele) e ∠OCB è pari a ∠ODC+∠COD = 2∠ODC;
quindi ∠AOB = ∠ODC+∠CBO = ∠ODC+2∠ODC = 3∠ODC.

Altra possibile dimostrazione.
In modo analogo a quanto fatto sopra, dimostro l'eguaglianza ∠OCB = 2∠ODC;
costruisco il diametro CE e osservo che ∠EOB = 2∠ECB in quanto angoli al centro e alla circonferenza insistenti sullo stesso arco;
quindi ∠ODC = ∠OCB/2 = ∠EOB/4 = (∠EOA+∠AOB)/4 = (∠ODC+∠AOB)/4;
da qui: ∠ODC = ∠AOB/3.

Per altri commenti: triangoli neGli Oggetti Matematici.

Nota. Con ABC - vedi figura a sinistra - indichiamo l'angolo frutto della rotazione antioraria della semiretta a = BA sulla semiretta b = BC.

A fianco è rappresentato un metodo (riportato da Archimede) per costruire, dato un angolo (AOB), un angolo (ADB) pari ad un terzo di esso. Cerca di spiegare come si procede e ad argomentare la validità del procedimento.
Costruiscoun cerchio con origine nel vertice dell'angolo, chiamo A e B l'intersezione del primo lato e del secondo lato col cerchio. Traccio un segmento BD con D che stia sulla retta OA e che intersechi il cerchio in un punto C tale che DC sia uguale al raggio del cerchio.
∠ODC è pari ad un terzo di ∠AOB. Infatti: ∠AOB è pari a 180°−∠BOD e 180°−∠BOD = ∠ODC+∠CBO in quanto ∠ODC+∠CBO+∠BOD = 180°; ∠CBO = ∠OCB (in quanto BCO è isoscele) e ∠OCB è pari a ∠ODC+∠COD = 2∠ODC; quindi ∠AOB = ∠ODC+∠CBO = ∠ODC+2∠ODC = 3∠ODC.
Altra possibile dimostrazione. In modo analogo a quanto fatto sopra, dimostro l'eguaglianza ∠OCB = 2∠ODC; costruisco il diametro CE e osservo che ∠EOB = 2∠ECB in quanto angoli al centro e alla circonferenza insistenti sullo stesso arco; quindi ∠ODC = ∠OCB/2 = ∠EOB/4 = (∠EOA+∠AOB)/4 = (∠ODC+∠AOB)/4; da qui: ∠ODC = ∠AOB/3.