A fianco è rappresentato un metodo (alternativo a quello dell'esercizio precedente) per costruire, dato un angolo ampio α, un angolo ampio α/3.  Tenendo conto che C viene scelto in modo che OC = CB, argomenta la validità del procedimento.     
Dato l'angolo α costruisco un cerchio con centro nell'origine dell'angolo, traccio il raggio che sta sul primo lato dell'angolo e traccio la parallela a tale raggio che passa per il punto A individuato sul cerchio dal prolungamento dell'altro lato.
Facendo riferimento alla figura a lato, traccio il segmento AB (con B sul primo lato dell'angolo) in modo tale che intersechi il cerchio in un punto C equidistante da O e da B.
Chiamo D il punto del cerchio individuato dalla semiretta di origine A parallela al primo lato; l'angolo DAC è ampio α/3. Infatti esso è uguale al suo alterno interno OBA, che è uguale a COB. La somma di questi due angoli è uguale a OCA (OCA = 180°−BCO = OBC+COB in quanto la somma degli angoli interni a un triangolo è 180°). Ma OCA = CAO. Quindi CAO è ampio 2 volte DAC, ossia DAC è ampio 1/3 di DAO, ossia α/3 (in quanto DAO è uguale all'angolo iniziale in quanto coniugati).

Per altri commenti: triangoli neGli Oggetti Matematici.

Come costruire l'angolo implementando il procedimento precedente con R. Prova con l'angolo ampio 30, 70, 90, 135 (per valori maggiori di 135, e minori di 180, il programma funziona ma il procedimento "manuale" va leggermente modificato):

BF=4.5; HF=3
DO = function(A) {
  PLANE(-1,3, -1,2); circle(0,0, 1, "blue"); A1=A*gradi
  ARC(0,0, 1/2, 0,A, "brown"); Directio(0,0, 0, 10, "brown")
  Directio(0,0, A, 10, "brown"); Directio(0,0, A+180, 1, "red")
  Directio(-cos(A1),-sin(A1),0,10, "brown"); Directio(0,0, -A/3, 1, "red")
  F=function(x) (cos(A1)+x)*tan(A1/3)-sin(A1); x=solution(F,0, 0.5,1000)
  line(x,0, -cos(A1),-sin(A1), "brown"); POINT(x,0,"brown")
  coldash="brown"; line(x,0, x+(x+cos(A1))*1000,sin(A1)*1000, 0)
  if(A<145) rap=1/2 else {if(A<161) rap=1/4 else rap=1/8}
  ARC(-cos(A1),-sin(A1), rap, 0,A/3, "brown")
  B=angle(c(0,0),c(x,0),c(-cos(A1),-sin(A1))); text(1/2,1.75,A); text(1/2,1.25,B) }
DO(30)
D0(70)
DO(90)
DO(135)