Dati i punti U = (2,0) e V = (−2,0), che cos'è l'insieme dei punti P tali che  UP² − VP² = 16 ?

A) una retta       B) due rette perpendicolari
C) un puntoD) una curva non rettilinea

Possiamo verificare la cosa analiticamente, indicando con (x,y) il punto P:
(2−x)² + y² − ( (−2−x)² + y² ) = 16
−8·x = 16
x = −2
L'equazione x = −2 nel piano (x,y) è la retta verticale di ascissa −2. La risposta OK è A.

Posso arrivare alla risposta anche ragionando in modo "geometrico":  la condizione UP² − VP² = 16, ovvero UP² = VP² + 16, indica, per la relazione pitagorica, che UP è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo un cui cateto è VP e il cui altro è lungo 4. Vedi la figura a lato. Da ciò deduco che P sta sulla perpendicolare alla retta UV passante per V.

Alla disperata, posso tracciare la curva direttamente col computer, ad esempio con R (vedi):
  

source("http://macosa.dima.unige.it/R/r1.R")
PIANO(-4,4, -4,4)
F = function(x,y) punto_punto(x,y, 2,0)^2-punto_punto(x,y,-2,0)^2-16
curva(F, "brown")
# ovvero
H = function(x,y) (x-2)^2+y^2 - ((x+2)^2+y^2) - 16
curva(H, "blue")
PUNTO(2,0,"red"); PUNTO(-2,0,"orange")
text(2.5,0.8,"U"); text(-2.5,0.8,"V")
text(0,-0.5,"4")
#
# Evidenziazione del triangolo rettangolo:
segm(2,0, -2,3, 0)
PUNTO(2,0,"red"); PUNTO(-2,3,"brown")
text(-1.3,3.4,"P")