Prova a dimostrare che, dato un triangolo ABC, se CH e BK sono due sue altezze, il triangolo AHK ha angoli della stessa ampiezza degli angoli di ABC.     

     Non banale trovare una dimostrazione, anche se una volta che ci stata spiegata essa sembra del tutto ovvia.  Osserviamo i triangoli AHC e KAB.  Sono triangoli rettangoli dalla stessa forma in quanto hanno l'angolo A in comune.  Quindi il rapporto tra i lati dell'uno deve essere uguale al rapporto tra i lati corrispondenti dell'altro:  AH / AC = AK / AB;  ovvero:  AH / AK = AC / AB.  I due triangoli AHK e ABC (con l'angolo A in comune) sono quindi inversamente simili ed hanno dunque anche gli altri due angoli uguali (anche se in ordine inverso).

Sotto, se sei interessato, vedi come stata realizzata la figura con R, a sinistra raffigurata con la griglia.


# Come  stata fatta la figura? È stata realizzata con R (vedi):
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.7; HF=2.7
PLANEww(0,10, 0,10) # PLANE(0,10, 0,10)
A=c(4,9); B=c(1,1); C=c(9,3)
polyC(c(A[1],B[1],C[1]), c(A[2],B[2],C[2]), "yellow")
text(3.4,9,"A"); text(0.5,1,"B"); text(9.5,3,"C")
perp3p(A[1],A[2], B[1],B[2], C[1],C[2], "blue")
H=c(solut[1],solut[2])
perp3p(A[1],A[2], C[1],C[2], B[1],B[2], "blue")
K=c(solut[1],solut[2])
text(3.2,4.7,"90^",cex=0.8); text(6.7,5,"90^",cex=0.8)
text(7.5,6,"K"); text(2,5.5,"H")
line(K[1],K[2], H[1],H[2], "brown")
angle(c(C[1],C[2]), c(B[1],B[2]), c(A[1],A[2]) )
# 55.40771
angle(c(A[1],A[2]), c(K[1],K[2]), c(H[1],H[2]) )
# 55.40771
angle(c(A[1],A[2]), c(C[1],C[2]), c(B[1],B[2]) )
# 64.23067
angle(c(K[1],K[2]), c(H[1],H[2]), c(A[1],A[2]) )
# 64.23067
text(7.7,3.4,"64^",cex=0.8); text(3.7,6,"64^",cex=0.8)
text(2.4,2,"55^",cex=0.8); text(5.5,6.2,"55^",cex=0.8)