Prova a dimostrare che, dato un triangolo ABC, se CH e BK sono due sue altezze, il triangolo AHK ha angoli della stessa ampiezza degli angoli di ABC.

Non è banale trovare una dimostrazione, anche se una volta che ci è stata spiegata essa sembra del tutto ovvia.  Osserviamo i triangoli AHC e KAB.  Sono triangoli rettangoli dalla stessa forma in quanto hanno l'angolo A in comune.  Quindi il rapporto tra i lati dell'uno deve essere uguale al rapporto tra i lati corrispondenti dell'altro:  AH / AC = AK / AB;  ovvero:  AH / AK = AC / AB.  I due triangoli AHK e ABC (con l'angolo A in comune) sono quindi inversamente simili ed hanno dunque anche gli altri due angoli uguali (anche se in ordine inverso). Sotto, se sei interessato, vedi come è stata realizzata la figura con R, a sinistra raffigurata con la griglia.

# Come è stata fatta la figura? È stata realizzata con R (vedi):
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.7; HF=2.7
PLANEww(0,10, 0,10) # PLANE(0,10, 0,10)
A=c(4,9); B=c(1,1); C=c(9,3)
polyC(c(A[1],B[1],C[1]), c(A[2],B[2],C[2]), "yellow")
text(3.4,9,"A"); text(0.5,1,"B"); text(9.5,3,"C")
perp3p(A[1],A[2], B[1],B[2], C[1],C[2], "blue")
H=c(solut[1],solut[2])
perp3p(A[1],A[2], C[1],C[2], B[1],B[2], "blue")
K=c(solut[1],solut[2])
text(3.2,4.7,"90^",cex=0.8); text(6.7,5,"90^",cex=0.8)
text(7.5,6,"K"); text(2,5.5,"H")
line(K[1],K[2], H[1],H[2], "brown")
angle(c(C[1],C[2]), c(B[1],B[2]), c(A[1],A[2]) )
# 55.40771
angle(c(A[1],A[2]), c(K[1],K[2]), c(H[1],H[2]) )
# 55.40771
angle(c(A[1],A[2]), c(C[1],C[2]), c(B[1],B[2]) )
# 64.23067
angle(c(K[1],K[2]), c(H[1],H[2]), c(A[1],A[2]) )
# 64.23067
text(7.7,3.4,"64^",cex=0.8); text(3.7,6,"64^",cex=0.8)
text(2.4,2,"55^",cex=0.8); text(5.5,6.2,"55^",cex=0.8)